Exercício 4. Seja ( V,+, \cdot ) o espaço vetorial real formado pelas matrizes quadradas de ordem \underline{n}, munido com as operações usuais de adição de matrizes e multiplicação de número real por matrizes. Quais dos seguintes subconjuntos W do espaço vetorial real ( V,+, \cdot ) são subespaços vetoriais de V ? Justifique sua resposta.
W \doteq\{A \in V ; \operatorname{det}(A)=0\}.

Passo 1

O enunciado diz que V é o espaço vetorial real de todas as matrizes quadradas n\times n com as operações usuais, e que
W = \{A\in V \mid \det(A)=0\}.
Queremos saber se W é um subespaço de V.

Passo 2

Lembrando que um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se, e somente se, satisfaz três condições:
(1) contém o vetor zero de V,
(2) é fechado sob multiplicação por escalar,
(3) é fechado sob adição.

Passo 3

Verificamos as duas primeiras condições:
– A matriz zero 0 tem \det(0)=0, logo 0\in W.
– Para qualquer A\in W e qualquer escalar k\in\mathbb{R}, vale
\det(kA)=k^{n}\det(A)=k^{n}\cdot0=0,
então kA\in W.
Portanto W contém o zero e é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 4

Para ver que não é fechado sob adição, basta um contraexemplo em dimensão 2:
A=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.
Aqui \det(A)=0 e \det(B)=0, mas
A+B=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}
tem \det(A+B)=1\neq0. Logo A+B\notin W, mostrando a falha de fechamento em adição.

Resposta

W não é subespaço vetorial de V.

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