(2.0 pontos) Com o conhecimento visto na disciplina sobre o gráfico da função
, resolva:
(a) ( 1.5 ponto) Esboce o gráfico da função
.
(b) ( 0.5 ponto) Quais as transformações geométricas usadas no item a?
(a) ( 1.5 ponto) Esboce o gráfico da função
(b) ( 0.5 ponto) Quais as transformações geométricas usadas no item a?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) Esboçar o gráfico da função .
(b) Indicar quais transformações geométricas foram usadas no item (a).
(a) Esboçar o gráfico da função
(b) Indicar quais transformações geométricas foram usadas no item (a).
Informações dadas e relevantes: a função básica conhecida é
. A função que queremos esboçar é obtida a partir de
por manipulações algébricas em
e por adição de constante. Não há outras restrições; podemos usar propriedades padrão do polinômio cúbico.
Passo 2
Relembrando a forma e as propriedades básicas de
(isso é importante para esboçar
a partir de
):
- Forma: é uma curva em “S” que passa pela origem, crescente em toda a reta real, com ponto de inflexão em
. - Alguns pontos simples de
: , , , , . Esses pontos são úteis para transportar ao construir . - Comportamento das extremidades:
e . - Derivada:
, então a inclinação em é (o ponto de inflexão tem tangente horizontal).
Esses itens nos dão uma “peça-base” para fazer o esboço de
.
Passo 3
Interpretação algébrica de
. Defina
. Então
Isto mostra claramente duas operações sobre
:
- primeiro usamos
, que corresponde a substituir por na função base; - depois adicionamos
ao valor da função.
Agora vamos traduzir essas operações em transformações geométricas (explico passo a passo mais adiante).
Passo 4
Efeito da operação
(deslocamento horizontal). Regra geral: substituir
por
em uma função corresponde a deslocar o gráfico da função original
unidades para a direita. Explicação simples: para que o argumento
valha
(onde o cúbico tem o ponto de inflexão), precisamos de
, ou seja
. Logo o ponto que estava em
em
passa a estar em
em
. Portanto
é o gráfico de
deslocado 1 unidade para a direita.
Passo 5
Efeito da adição
(deslocamento vertical). Regra geral: adicionar uma constante
à função desloca o gráfico
unidades para cima. Assim
é o gráfico de
deslocado 2 unidades para cima. Combinando com o passo anterior,
é o gráfico de
deslocado 1 unidade para a direita e 2 unidades para cima.
Passo 6
Transformando pontos concretos para ajudar no esboço. Pego os pontos simples de
do Passo 2 e aplico as transformações (direita 1, cima 2). Alternativamente calcule
nos mesmos
que usamos antes:
- Para
: . Resulta no ponto . - Para
: . Ponto . - Para
: . Ponto . Este é o ponto de inflexão do novo gráfico (veja Passo 8). - Para
: . Ponto . - Para
: . Ponto .
Esses pontos já descrevem bem a curva em S deslocada; marque-os no papel e ligue-os com uma curva suave crescente.
Passo 7
Características do esboço e comportamento extremo (como desenhar com confiança):
- Ponto de inflexão: o original
vira . Em termos de derivadas, , então (tangente horizontal) e muda de sinal em , confirmando inflexão em . Não precisa decorar derivadas para a prova, mas é uma confirmação útil. - Monotonicidade:
e é zero somente em ; isso indica que a função é crescente globalmente, com “achatamento” da inclinação em . - Extremidades:
e . Assim as caudas do cúbico vão para cima à direita e para baixo à esquerda. - Domínio e imagem: domínio
, imagem (como ).
Como esboçar: desenhe eixos, marque os pontos calculados no Passo 6, coloque uma curva em S que passe por eles, tangente horizontal em
, suba rápido à direita e desça rápido à esquerda.
Passo 8
Resumo didático rápido para você usar na prova:
- Sempre que vir
dentro da função, mova o gráfico unidades para a direita; se fosse moveria para a esquerda. - Sempre que vir
fora da função, mova o gráfico unidades para cima; se fosse moveria para baixo. - Pegue alguns pontos simples da função base e aplique as mesmas transformações para ter pontos-guia para o esboço. Isso evita erro e é rápido de fazer sem calculadora.
Resposta
(a) Gráfico: curva em “S” (cúbica) igual ao gráfico de
deslocado 1 unidade para a direita e 2 unidades para cima; passa pelos pontos
,
,
,
,
e tem ponto de inflexão em
.
(b) Transformações: translação horizontal de unidade para a direita e translação vertical de
unidades para cima.
(b) Transformações: translação horizontal de