(2.0 pontos) Com o conhecimento visto na disciplina sobre o gráfico da função f(x)=x^{3}, resolva:
(a) ( 1.5 ponto) Esboce o gráfico da função g(x)=(x-1)^{3}+2.
(b) ( 0.5 ponto) Quais as transformações geométricas usadas no item a?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) Esboçar o gráfico da função g(x)=(x-1)^{3}+2.
(b) Indicar quais transformações geométricas foram usadas no item (a).
Informações dadas e relevantes: a função básica conhecida é f(x)=x^{3}. A função que queremos esboçar é obtida a partir de f por manipulações algébricas em x e por adição de constante. Não há outras restrições; podemos usar propriedades padrão do polinômio cúbico.

Passo 2

Relembrando a forma e as propriedades básicas de f(x)=x^{3} (isso é importante para esboçar g a partir de f):
  • Forma: é uma curva em “S” que passa pela origem, crescente em toda a reta real, com ponto de inflexão em (0,0).
  • Alguns pontos simples de f: (-2,-8), (-1,-1), (0,0), (1,1), (2,8). Esses pontos são úteis para transportar ao construir g.
  • Comportamento das extremidades: \lim_{x\to\infty} x^{3} = \infty e \lim_{x\to -\infty} x^{3} = -\infty.
  • Derivada: f'(x)=3x^{2}, então a inclinação em x=0 é 0 (o ponto de inflexão tem tangente horizontal).
Esses itens nos dão uma “peça-base” para fazer o esboço de g.

Passo 3

Interpretação algébrica de g(x). Defina u=x-1. Então
g(x)=(x-1)^{3}+2 = u^{3}+2.
Isto mostra claramente duas operações sobre f(u)=u^{3}:
  • primeiro usamos u=x-1, que corresponde a substituir x por x-1 na função base;
  • depois adicionamos +2 ao valor da função.
Agora vamos traduzir essas operações em transformações geométricas (explico passo a passo mais adiante).

Passo 4

Efeito da operação x\mapsto x-1 (deslocamento horizontal). Regra geral: substituir x por x-h em uma função corresponde a deslocar o gráfico da função original h unidades para a direita. Explicação simples: para que o argumento u valha 0 (onde o cúbico tem o ponto de inflexão), precisamos de x-1=0, ou seja x=1. Logo o ponto que estava em (0,0) em f passa a estar em (1,0) em f(x-1). Portanto f(x-1)=(x-1)^{3} é o gráfico de f deslocado 1 unidade para a direita.

Passo 5

Efeito da adição +2 (deslocamento vertical). Regra geral: adicionar uma constante +k à função desloca o gráfico k unidades para cima. Assim u^{3}+2 é o gráfico de u^{3} deslocado 2 unidades para cima. Combinando com o passo anterior, g(x)=(x-1)^{3}+2 é o gráfico de f(x)=x^{3} deslocado 1 unidade para a direita e 2 unidades para cima.

Passo 6

Transformando pontos concretos para ajudar no esboço. Pego os pontos simples de f do Passo 2 e aplico as transformações (direita 1, cima 2). Alternativamente calcule g nos mesmos x que usamos antes:
  • Para x=-1: g(-1)=(-1-1)^{3}+2 = (-2)^{3}+2 = -8+2 = -6. Resulta no ponto (-1,-6).
  • Para x=0: g(0)=(0-1)^{3}+2 = (-1)^{3}+2 = -1+2 = 1. Ponto (0,1).
  • Para x=1: g(1)=(1-1)^{3}+2 = 0+2 = 2. Ponto (1,2). Este é o ponto de inflexão do novo gráfico (veja Passo 8).
  • Para x=2: g(2)=(2-1)^{3}+2 = 1+2 = 3. Ponto (2,3).
  • Para x=3: g(3)=(3-1)^{3}+2 = 2^{3}+2 = 8+2 = 10. Ponto (3,10).
Esses pontos já descrevem bem a curva em S deslocada; marque-os no papel e ligue-os com uma curva suave crescente.

Passo 7

Características do esboço e comportamento extremo (como desenhar com confiança):
  • Ponto de inflexão: o original (0,0) vira (1,2). Em termos de derivadas, g'(x)=3(x-1)^{2}, então g'(1)=0 (tangente horizontal) e g''(x)=6(x-1) muda de sinal em x=1, confirmando inflexão em (1,2). Não precisa decorar derivadas para a prova, mas é uma confirmação útil.
  • Monotonicidade: g'(x)=3(x-1)^{2}\ge 0 e é zero somente em x=1; isso indica que a função é crescente globalmente, com “achatamento” da inclinação em x=1.
  • Extremidades: \lim_{x\to\infty} g(x)=\infty e \lim_{x\to -\infty} g(x)=-\infty. Assim as caudas do cúbico vão para cima à direita e para baixo à esquerda.
  • Domínio e imagem: domínio \mathbb{R}, imagem \mathbb{R} (como x^{3}).
Como esboçar: desenhe eixos, marque os pontos calculados no Passo 6, coloque uma curva em S que passe por eles, tangente horizontal em (1,2), suba rápido à direita e desça rápido à esquerda.

Passo 8

Resumo didático rápido para você usar na prova:
  • Sempre que vir (x-h) dentro da função, mova o gráfico h unidades para a direita; se fosse (x+h) moveria para a esquerda.
  • Sempre que vir +k fora da função, mova o gráfico k unidades para cima; se fosse -k moveria para baixo.
  • Pegue alguns pontos simples da função base e aplique as mesmas transformações para ter pontos-guia para o esboço. Isso evita erro e é rápido de fazer sem calculadora.

Resposta

(a) Gráfico: curva em “S” (cúbica) igual ao gráfico de y=x^{3} deslocado 1 unidade para a direita e 2 unidades para cima; passa pelos pontos (-1,-6), (0,1), (1,2), (2,3), (3,10) e tem ponto de inflexão em (1,2).
(b) Transformações: translação horizontal de 1 unidade para a direita e translação vertical de 2 unidades para cima.

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