Exercício 0.6 Seja a \in \mathbb{Z}. Mostre que a é ímpar se, e somente se, a { }^{2} é ímpar.

Passo 1

O enunciado pede para provar a equivalência \text{\(a é ímpar}
\iff
a^2 é ímpar)
para um inteiro a. Vamos usar a definição de número ímpar (existe k\in\mathbb{Z} tal que a=2k+1) e a ideia de prova de bicondicional, separando em duas implicações.

Passo 2

Prova de “se a é ímpar, então a^2 é ímpar”: suponha
a = 2k + 1
com k\in\mathbb{Z}. Então
a^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2\bigl(2k^2 + 2k\bigr) + 1,
e como 2k^2 + 2k é inteiro, segue que a^2 tem a forma 2m+1, ou seja, é ímpar.

Passo 3

Prova de “se a^2 é ímpar, então a é ímpar”: é mais simples usar a contrapositiva. Outra forma equivalente é mostrar que se a fosse par então a^2 seria par. Suponha
a = 2k
com k\in\mathbb{Z}. Então
a^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2\bigl(2k^2\bigr),
logo a^2 é par. Isso prova a contrapositiva “se a^2 é ímpar então a não é par”, isto é, a é ímpar.

Passo 4

Como mostramos ambas as implicações
a \text{ ímpar}\implies a^2\text{ ímpar} \quad\text{e}\quad a^2\text{ ímpar}\implies a\text{ ímpar},íííí
concluímos o “se, e somente se” desejado.

Resposta

Dessa forma, fica comprovado que a é ímpar se, e somente se, a^2 é ímpar.

Exercícios relacionados