Exercício 0.6 Seja
. Mostre que a é ímpar se, e somente se, a
é ímpar.
Passo 1
O enunciado pede para provar a equivalência
é ímpar}
\iff
é ímpar)
para um inteiro . Vamos usar a definição de número ímpar (existe
tal que
) e a ideia de prova de bicondicional, separando em duas implicações.
\iff
para um inteiro
Passo 2
Prova de “se
é ímpar, então
é ímpar”: suponha
com
. Então
e como
é inteiro, segue que
tem a forma
, ou seja, é ímpar.
Passo 3
Prova de “se
é ímpar, então
é ímpar”: é mais simples usar a contrapositiva. Outra forma equivalente é mostrar que se
fosse par então
seria par. Suponha
com
. Então
logo
é par. Isso prova a contrapositiva “se
é ímpar então
não é par”, isto é,
é ímpar.
Passo 4
Como mostramos ambas as implicações
concluímos o “se, e somente se” desejado.
Resposta
Dessa forma, fica comprovado que
é ímpar se, e somente se,
é ímpar.