Exercício 2.3:

Seja a \in \operatorname{Im}. Prove que existe q \in \mathbb{Z} tal que a=4 q+3 ou a=4 q+1.

Passo 1

O enunciado dá que a\in\operatorname{Im}. Isso significa que a é um número inteiro ímpar. O que precisamos provar é que existe um q\in\mathbb{Z} tal que a=4q+3 ou a=4q+1.
Informações relevantes que já temos:
  • a é ímpar, portanto pode ser escrito como a=2k+1 para algum k\in\mathbb{Z}.
  • A estratégia será usar essa forma e analisar a paridade de k.

Passo 2

Recordando definições básicas e um fato simples sobre inteiros:
  • Um inteiro m é par quando existe t\in\mathbb{Z} tal que m=2t.
  • Um inteiro m é ímpar quando existe t\in\mathbb{Z} tal que m=2t+1.
  • Todo inteiro k é ou par ou ímpar. Então, para qualquer k\in\mathbb{Z} valem exatamente duas possibilidades: k=2q para algum q\in\mathbb{Z} (caso k seja par) ou k=2q+1 para algum q\in\mathbb{Z} (caso k seja ímpar).
Vamos aplicar isso à escrita a=2k+1.

Passo 3

Caso 1: suponha que k seja par. Então existe q\in\mathbb{Z} tal que k=2q. Substituindo em a=2k+1 obtemos
a = 2(2q)+1 = 4q+1.
Logo, neste caso encontramos q\in\mathbb{Z} com a=4q+1.

Passo 4

Caso 2: suponha que k seja ímpar. Então existe q\in\mathbb{Z} tal que k=2q+1. Substituindo em a=2k+1 obtemos
a = 2(2q+1)+1 = 4q+2+1 = 4q+3.
Logo, neste caso encontramos q\in\mathbb{Z} com a=4q+3.

Passo 5

Visto que todo inteiro k é ou par ou ímpar, um dos dois casos acima sempre ocorre. Portanto, para qualquer a\in\operatorname{Im} (qualquer inteiro ímpar) existe q\in\mathbb{Z} satisfazendo uma das duas formas pedidas.

Resposta

Para todo a\in\operatorname{Im} existe q\in\mathbb{Z} tal que a=4q+1 ou a=4q+3.

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