Exercício 2.3:
Seja
. Prove que existe
tal que
ou
.
Passo 1
O enunciado dá que
. Isso significa que
é um número inteiro ímpar. O que precisamos provar é que existe um
tal que
ou
.
Informações relevantes que já temos:
-
é ímpar, portanto pode ser escrito como para algum . - A estratégia será usar essa forma e analisar a paridade de
.
Passo 2
Recordando definições básicas e um fato simples sobre inteiros:
- Um inteiro
é par quando existe tal que . - Um inteiro
é ímpar quando existe tal que . - Todo inteiro
é ou par ou ímpar. Então, para qualquer valem exatamente duas possibilidades: para algum (caso seja par) ou para algum (caso seja ímpar).
Vamos aplicar isso à escrita
.
Passo 3
Caso 1: suponha que
seja par. Então existe
tal que
. Substituindo em
obtemos
Logo, neste caso encontramos
com
.
Passo 4
Caso 2: suponha que
seja ímpar. Então existe
tal que
. Substituindo em
obtemos
Logo, neste caso encontramos
com
.
Passo 5
Visto que todo inteiro
é ou par ou ímpar, um dos dois casos acima sempre ocorre. Portanto, para qualquer
(qualquer inteiro ímpar) existe
satisfazendo uma das duas formas pedidas.
Resposta
Para todo
existe
tal que
ou
.