Calcule a integral indefinida depois use o resultado pra calcular a integral definida
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Primeiro: calcular a integral indefinida
. - Depois: usar esse resultado para calcular a integral definida
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função integranda é
. - Os limites para a integral definida são
e .
Passo 2
Vamos calcular a integral indefinida. Uma fórmula muito útil que preciso recordar é a derivada da função arco-tangente:
Isso significa que, se tivermos uma integral da forma
, o resultado é
.
No nosso caso a variável dentro do quadrado é
. Faço a substituição simples para encaixar na forma acima:
Então
Substituindo na integral:
Como
é constante, posso colocá-la fora da integral:
Agora uso a fórmula da arco-tangente:
Voltando para
(onde
):
Explicação curta para memorização: para integrais da forma
a resposta é
, porque d(
)/dx =
.
Passo 3
Agora uso o resultado anterior para calcular a integral definida pelo Teorema Fundamental do Cálculo. Seja a primitiva
Então
Calculo cada termo:
Como
e
, obtemos
Portanto o valor da integral definida é
.
Comentário extra (curioso e útil na prova): a função
é par (depende de
), então a integral de
a
é duas vezes a integral de
a
. Se usássemos isso, faríamos
e chegaríamos ao mesmo resultado
.