Calcule a integral indefinida depois use o resultado pra calcular a integral definida
\int_{-1 / 3}^{1 / 3} \frac{1}{1+9 x^{2}} d x=

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Primeiro: calcular a integral indefinida \displaystyle \int \frac{1}{1+9x^{2}}\,dx.
  • Depois: usar esse resultado para calcular a integral definida \displaystyle \int_{-1/3}^{1/3} \frac{1}{1+9x^{2}}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função integranda é \displaystyle \frac{1}{1+9x^{2}}.
  • Os limites para a integral definida são x=-\tfrac{1}{3} e x=\tfrac{1}{3}.

Passo 2

Vamos calcular a integral indefinida. Uma fórmula muito útil que preciso recordar é a derivada da função arco-tangente:
\frac{d}{du}\bigl(\arctan(u)\bigr)=\frac{1}{1+u^{2}}.
Isso significa que, se tivermos uma integral da forma \displaystyle \int \frac{1}{1+u^{2}}\,du, o resultado é \arctan(u)+C.
No nosso caso a variável dentro do quadrado é 3x. Faço a substituição simples para encaixar na forma acima:
u=3x.
Então
du = 3\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx=\frac{du}{3}.
Substituindo na integral:
\int \frac{1}{1+9x^{2}}\,dx = \int \frac{1}{1+u^{2}}\cdot\frac{du}{3}.
Como \frac{1}{3} é constante, posso colocá-la fora da integral:
\int \frac{1}{1+9x^{2}}\,dx = \frac{1}{3}\int \frac{1}{1+u^{2}}\,du.
Agora uso a fórmula da arco-tangente:
\frac{1}{3}\int \frac{1}{1+u^{2}}\,du = \frac{1}{3}\arctan(u)+C.
Voltando para x (onde u=3x):
\boxed{\displaystyle \int \frac{1}{1+9x^{2}}\,dx = \frac{1}{3}\arctan(3x)+C.}
Explicação curta para memorização: para integrais da forma \displaystyle \int \frac{1}{1+(ax)^{2}}\,dx a resposta é \dfrac{1}{a}\arctan(ax)+C, porque d( \arctan(ax))/dx = a/(1+(ax)^2).

Passo 3

Agora uso o resultado anterior para calcular a integral definida pelo Teorema Fundamental do Cálculo. Seja a primitiva
F(x)=\frac{1}{3}\arctan(3x).
Então
\int_{-1/3}^{1/3} \frac{1}{1+9x^{2}}\,dx = F\!\left(\tfrac{1}{3}\right)-F\!\left(-\tfrac{1}{3}\right).
Calculo cada termo:
F\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}\arctan\!\left(3\cdot\tfrac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}\arctan(1),
F\!\left(-\tfrac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}\arctan\!\left(3\cdot\left(-\tfrac{1}{3}\right)\right)=\frac{1}{3}\arctan(-1).
Como \arctan(1)=\tfrac{\pi}{4} e \arctan(-1)=-\tfrac{\pi}{4}, obtemos
F\!\left(\tfrac{1}{3}\right)-F\!\left(-\tfrac{1}{3}\right) = \frac{1}{3}\left(\frac{\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = \frac{1}{3}\cdot\frac{\pi}{2}.
Portanto o valor da integral definida é \dfrac{\pi}{6}.
Comentário extra (curioso e útil na prova): a função \dfrac{1}{1+9x^{2}} é par (depende de x^{2}), então a integral de -a a a é duas vezes a integral de 0 a a. Se usássemos isso, faríamos 2\int_{0}^{1/3} e chegaríamos ao mesmo resultado \pi/6.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{6}

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