Exercício 9. Seja \left(\mathrm{P}_{\mathrm{n}}\right)_{\mathrm{n}} a família de polinômios definida por:
\mathrm{P}_{0}=1, \mathrm{P}_{1}=\mathrm{X}, \forall \mathrm{n} \in \mathbb{N}^{*}, \mathrm{P}_{\mathrm{n}+1}=\mathrm{X} \mathrm{P}_{\mathrm{n}}-\mathrm{nP} \mathrm{P}_{\mathrm{n}-1}
Mostrar que: para todo inteiro n superior a 1, \mathrm{Pn}^{\prime}=\mathrm{nP}_{\mathrm{n}-1}.

Passo 1

O enunciado define a família de polinômios (P_n) por
P_0 = 1,\quad P_1 = X,\quad \forall n\in\mathbb{N}^*,\;P_{n+1} = X\,P_n - n\,P_{n-1},
e pede para mostrar que, para todo inteiro n>1,
P_n' = n\,P_{n-1}.
Vamos provar isso por indução em n.

Passo 2

(Base da indução)
Para n=1 temos P_1 = X, logo
P_1' = 1 = 1\cdot P_0.
Para n=2 a recorrência dá
P_2 = X\,P_1 - 1\cdot P_0 = X^2 - 1,
então
P_2' = 2X = 2\,P_1.
Assim a propriedade vale para n=1 e n=2.

Passo 3

(Passo indutivo)
Suponha que, para algum n\ge2, valha
P_k' = k\,P_{k-1} \quad\text{para todo }k\le n.
Derivando a relação de recorrência para P_{n+1}, obtemos
P_{n+1}' = (X\,P_n)' - n\,(P_{n-1})' = P_n + X\,P_n' - n\,P_{n-1}'.
Pelo passo indutivo substituímos P_n' = n\,P_{n-1} e P_{n-1}' = (n-1)\,P_{n-2}, resultando em
P_{n+1}' = P_n + X\,(n\,P_{n-1}) - n\,(n-1)\,P_{n-2} = P_n + n\bigl(X\,P_{n-1} - (n-1)P_{n-2}\bigr).
Pela recorrência X\,P_{n-1} - (n-1)P_{n-2} = P_n, segue
P_{n+1}' = P_n + n\,P_n = (n+1)\,P_n.
Isso completa o passo indutivo.

Resposta

Para todo inteiro n>1 vale
P_n' = n\,P_{n-1}.

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