Exercício 9. Seja
a família de polinômios definida por:
Mostrar que: para todo inteiro
superior a
.
Passo 1
O enunciado define a família de polinômios
por
e pede para mostrar que, para todo inteiro
,
Vamos provar isso por indução em
.
Passo 2
(Base da indução)
Para temos
, logo
Para
Para
a recorrência dá
então
Assim a propriedade vale para
e
.
Passo 3
(Passo indutivo)
Suponha que, para algum , valha
Suponha que, para algum
Derivando a relação de recorrência para
, obtemos
Pelo passo indutivo substituímos
e
, resultando em
Pela recorrência
, segue
Isso completa o passo indutivo.
Resposta
Para todo inteiro
vale