Exercício 10. A condição de continuidade de uma função f em xo é uma condição necessária, uma condição suficiente ou as duas, para que ela seja derivável em \mathrm{x}_{0} ?

Passo 1

O enunciado pergunta se a continuidade de f em \mathrm{x}_{0} é condição necessária, suficiente ou ambas para que f seja derivável em \mathrm{x}_{0}. Para responder precisamos usar as definições de derivada e de limite que garantem continuidade.

Passo 2

Suponha que f seja derivável em \mathrm{x}_{0}. Por definição existe
\lim_{x\to \mathrm{x}_{0}}\frac{f(x)-f(\mathrm{x}_{0})}{x-\mathrm{x}_{0}}
finito. Seja esse limite igual a L. Então, reescrevendo
f(x)-f(\mathrm{x}_{0}) =(x-\mathrm{x}_{0})\cdot\frac{f(x)-f(\mathrm{x}_{0})}{x-\mathrm{x}_{0}},
e passando o limite x\to\mathrm{x}_{0}, o fator (x-\mathrm{x}_{0}) vai a zero enquanto o quociente vai a L. Logo
\lim_{x\to \mathrm{x}_{0}}\bigl(f(x)-f(\mathrm{x}_{0})\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{x\to \mathrm{x}_{0}}f(x)=f(\mathrm{x}_{0}),
que é exatamente a continuidade em \mathrm{x}_{0}. Assim, derivável em \mathrm{x}_{0}; \Longrightarrow;contínua em \mathrm{x}_{0}. Ou seja, continuidade é condição necessária.

Passo 3

Para ver que continuidade não basta, considere
f(x)=|x|,
que é contínua em x=0 pois \lim_{x\to0}|x|=0=f(0).
Porém o limite que define a derivada em 0 não existe:
\lim_{x\to0^+}\frac{|x|-0}{x-0}=1 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0^-}\frac{|x|-0}{x-0}=-1,
são diferentes. Logo f não é derivável em 0 apesar de contínua ali. Assim, continuidade não é suficiente.

Passo 4

Concluímos que, para f ser derivável em \mathrm{x}_{0}, é obrigatório que seja contínua ali (necessária), mas nem toda função contínua em \mathrm{x}_{0} é derivável em \mathrm{x}_{0} (não suficiente).

Resposta

A continuidade em \mathrm{x}_{0} é condição necessária, mas não suficiente, para que f seja derivável em \mathrm{x}_{0}.

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