Exercício 10. A condição de continuidade de uma função f em xo é uma condição necessária, uma condição suficiente ou as duas, para que ela seja derivável em
?
Passo 1
O enunciado pergunta se a continuidade de
em
é condição necessária, suficiente ou ambas para que
seja derivável em
. Para responder precisamos usar as definições de derivada e de limite que garantem continuidade.
Passo 2
Suponha que
seja derivável em
. Por definição existe
finito. Seja esse limite igual a
. Então, reescrevendo
e passando o limite
, o fator
vai a zero enquanto o quociente vai a
. Logo
que é exatamente a continuidade em
. Assim, derivável em
;
;contínua em
. Ou seja, continuidade é condição necessária.
Passo 3
Para ver que continuidade não basta, considere
que é contínua em
pois
.
Porém o limite que define a derivada em não existe:
Porém o limite que define a derivada em
são diferentes. Logo
não é derivável em
apesar de contínua ali. Assim, continuidade não é suficiente.
Passo 4
Concluímos que, para
ser derivável em
, é obrigatório que seja contínua ali (necessária), mas nem toda função contínua em
é derivável em
(não suficiente).
Resposta
A continuidade em
é condição necessária, mas não suficiente, para que
seja derivável em
.