Exercício 2.2. Seja P(x) d x a probabilidade de que a partícula seja encontrada entre x e x+d x em um oscilador harmônico simples. Calcule P(x) e esboce o gráfico de P(x) em função de x. Onde é mais provável encontrar a partícula, próximo à posição de equilibrio ou próximo aos pontos de retorno?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para calcular a probabilidade $ P(x) $ de encontrar uma partícula entre $ x $ e $ x + dx $ em um oscilador harmônico simples. A gente vai precisar entender um pouco sobre movimento harmônico e probabilidade. Basicamente, vamos usar conceitos de física clássica e matemática para descobrir como essa probabilidade varia com a posição $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no oscilador harmônico simples, a partícula oscila em torno de uma posição de equilíbrio com uma amplitude máxima $ A $. A energia total do sistema é dada por $ E = \frac{1}{2}kA^2 $, onde $ k $ é a constante elástica da mola.

Passo 3

A velocidade da partícula em qualquer posição $ x $ pode ser determinada usando a conservação de energia. A energia cinética $ K $ e a energia potencial $ U $ somam a energia total:
x
Resolvendo para $ v $:
K

Passo 4

A probabilidade $ P(x)dx $ de encontrar a partícula entre $ x $ e $ x + dx $ é proporcional ao tempo que a partícula passa nessa região. Como $ v = \frac{dx}{dt} $, podemos rearranjar para encontrar $ dt = \frac{dx}{v} $:
P(x)dx

Passo 5

Para encontrar a probabilidade, precisamos normalizar esse tempo pelo período total $ T $ do movimento. O período de um oscilador harmônico simples é:
T
Então, a probabilidade $ P(x) $ é:
T = 2piraizmk

Passo 6

Agora, temos a função de probabilidade:
P(x) = 1piraizA^2 - x^2
Essa função nos mostra como a probabilidade varia com $ x $.

Passo 7

Para esboçar o gráfico de $ P(x) $ em função de $ x $, percebemos que $ P(x) $ tende a infinito quando $ x $ se aproxima de $ \pm A $, e tem valores menores perto de $ x = 0 $. Isso significa que a partícula é mais provável de ser encontrada próxima aos pontos de retorno ( $ x = \pm A $ ) e menos provável perto da posição de equilíbrio.

Resposta

A função de probabilidade é:
P(x) = 1piraizA^2 - x^2
O gráfico de $ P(x) $ apresenta picos nos pontos de retorno $ x = \pm A $, indicando que é mais provável encontrar a partícula próximo aos pontos de retorno do que na posição de equilíbrio.

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