Exercício 2.2. Seja
a probabilidade de que a partícula seja encontrada entre
e
em um oscilador harmônico simples. Calcule
e esboce o gráfico de
em função de
. Onde é mais provável encontrar a partícula, próximo à posição de equilibrio ou próximo aos pontos de retorno?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para calcular a probabilidade $ P(x) $ de encontrar uma partícula entre $ x $ e $ x + dx $ em um oscilador harmônico simples. A gente vai precisar entender um pouco sobre movimento harmônico e probabilidade. Basicamente, vamos usar conceitos de física clássica e matemática para descobrir como essa probabilidade varia com a posição $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no oscilador harmônico simples, a partícula oscila em torno de uma posição de equilíbrio com uma amplitude máxima $ A $. A energia total do sistema é dada por $ E = \frac{1}{2}kA^2 $, onde $ k $ é a constante elástica da mola.
Passo 3
A velocidade da partícula em qualquer posição $ x $ pode ser determinada usando a conservação de energia. A energia cinética $ K $ e a energia potencial $ U $ somam a energia total:
Resolvendo para $ v $:
Passo 4
A probabilidade $ P(x)dx $ de encontrar a partícula entre $ x $ e $ x + dx $ é proporcional ao tempo que a partícula passa nessa região. Como $ v = \frac{dx}{dt} $, podemos rearranjar para encontrar $ dt = \frac{dx}{v} $:
Passo 5
Para encontrar a probabilidade, precisamos normalizar esse tempo pelo período total $ T $ do movimento. O período de um oscilador harmônico simples é:
Então, a probabilidade $ P(x) $ é:
Passo 6
Agora, temos a função de probabilidade:
Essa função nos mostra como a probabilidade varia com $ x $.
Passo 7
Para esboçar o gráfico de $ P(x) $ em função de $ x $, percebemos que $ P(x) $ tende a infinito quando $ x $ se aproxima de $ \pm A $, e tem valores menores perto de $ x = 0 $. Isso significa que a partícula é mais provável de ser encontrada próxima aos pontos de retorno ( $ x = \pm A $ ) e menos provável perto da posição de equilíbrio.
Resposta
A função de probabilidade é:
O gráfico de $ P(x) $ apresenta picos nos pontos de retorno $ x = \pm A $, indicando que é mais provável encontrar a partícula próximo aos pontos de retorno do que na posição de equilíbrio.