Na sala, a relação entre as matrizes de tensões e deformaçōes para um materi elástico, linear e lsotrópica fol obtida em forma explicita e dada por
Ou seja, dados as propriedades materiais e o estado de tensōes, a matriz deformaçōes pode ser obtida diretamente. E se fosse o inverso? Como obter a matr tensöes, sendo conhecidas as deformaçőes? Demonstre.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que foi pedido! A questão nos deu uma relação entre as matrizes de tensões (
) e de deformações (
) para um material elástico, linear e isotrópico. A fórmula fornecida é:
Aqui,
é o módulo de cisalhamento,
é o coeficiente de Poisson,
é o traço da matriz de tensões (a soma das tensões normais), e
é o delta de Kronecker, que é 1 quando
e 0 caso contrário.
O que a questão quer é: se conhecemos as deformações (
), como podemos encontrar as tensões (
)? Ou seja, precisamos inverter essa relação para expressar
em função de
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar a manipulação:
Nosso objetivo é isolar
. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
:
Passo 3
Agora, queremos expressar
em função de
. Vamos reorganizar a equação:
Perceba que ainda temos
do lado direito dentro do traço. Precisamos encontrar uma expressão para
em termos de
.
Passo 4
Vamos calcular o traço de
, que é a soma das componentes diagonais:
Usando a equação que encontramos:
Tomando
e somando sobre
, temos:
Simplificando:
Passo 5
Vamos isolar
. Levando o termo com
para o lado esquerdo:
Fatorando
:
Simplificando o fator:
Então:
Isolando
:
Passo 6
Agora que temos
em termos de
, podemos substituir de volta na equação para
:
Simplificando:
Resposta
Assim, a matriz de tensões
, em função das deformações
, é dada por: