Na sala, a relação entre as matrizes de tensões e deformaçōes para um materi elástico, linear e lsotrópica fol obtida em forma explicita e dada por
Ei j=12 G[Ti j-v1+v tr(T) de
Ou seja, dados as propriedades materiais e o estado de tensōes, a matriz deformaçōes pode ser obtida diretamente. E se fosse o inverso? Como obter a matr tensöes, sendo conhecidas as deformaçőes? Demonstre.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que foi pedido! A questão nos deu uma relação entre as matrizes de tensões ( Tij) e de deformações ( Eij) para um material elástico, linear e isotrópico. A fórmula fornecida é:
Ei j=12 G[Ti j-v1+v tr(T) de
Aqui, G é o módulo de cisalhamento, v é o coeficiente de Poisson, tr(T) é o traço da matriz de tensões (a soma das tensões normais), e de é o delta de Kronecker, que é 1 quando i = j e 0 caso contrário.
O que a questão quer é: se conhecemos as deformações ( Eij), como podemos encontrar as tensões ( Tij)? Ou seja, precisamos inverter essa relação para expressar Tij em função de Eij.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar a manipulação:
Ei j = 12 G [ Tij - v1 + v tr(T) de
Nosso objetivo é isolar Tij. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação por 2G:
2 G Eij = Tij - v1 + v tr(T) de

Passo 3

Agora, queremos expressar Tij em função de Eij. Vamos reorganizar a equação:
Tij = 2 G Eij + v1 + v tr(T) de
Perceba que ainda temos Tij do lado direito dentro do traço. Precisamos encontrar uma expressão para tr(T) em termos de Eij.

Passo 4

Vamos calcular o traço de T, que é a soma das componentes diagonais:
tr(T) = T11 + T22 + T33
Usando a equação que encontramos:
Tij = 2 G Eij + v1 + v tr(T) de
Tomando i = j e somando sobre i, temos:
tr(T) = 2 G E11 + 2 G E22 + 2 G E33 + v1 + v tr(T) cdot 3
Simplificando:
tr(T) = 2 G tr(E) + 3v1 + v tr(T)

Passo 5

Vamos isolar tr(T). Levando o termo com tr(T) para o lado esquerdo:
tr(T) - 3v1 + v tr(T) = 2 G tr(E)
Fatorando tr(T):
tr(T) (1 - 3v1 + v) = 2 G tr(E)
Simplificando o fator:
1 - 3v1 + v = (1 + v) - 3v1 + v = 1 - 2v1 + v
Então:
tr(T) cdot 1 - 2v1 + v = 2 G tr(E)
Isolando tr(T):
tr(T) = 2 G (1 + v)1 - 2v tr(E)

Passo 6

Agora que temos tr(T) em termos de tr(E), podemos substituir de volta na equação para Tij:
Tij = 2 G Eij + v1 + v cdot 2 G (1 + v)1 - 2v tr(E) de
Simplificando:
Tij = 2 G Eij + 2 G v1 - 2v tr(E) de

Resposta

Assim, a matriz de tensões Tij, em função das deformações Eij, é dada por:
Tij = 2 G Eij + 2 G v1 - 2 v tr(E) de

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