Exercício 2.4. Duas massas m1 e m2, livres para se movimentarem sobre um trilho horizontal sem atrito, estão conectadas por uma mola cuja constante elástica é k. Mostre que o centro de massa move-se com velocidade constante enquanto as massas executam um movimento harmônico simples em torno do centro de massa. Obtenha a frequência angular de oscilação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas massas, m1 e m2, que estão se movendo em um trilho sem atrito e conectadas por uma mola com constante elástica k. O objetivo é mostrar que o centro de massa das duas massas se move com velocidade constante e que cada massa faz um movimento harmônico simples (MHS) ao redor desse centro de massa. Além disso, precisamos calcular a frequência angular dessa oscilação. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de centro de massa, leis de Newton e movimento harmônico simples.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a posição do centro de massa ( xcm) das duas massas. A fórmula para o centro de massa de duas partículas é:
xcm = m1x1 + m2x2m1 + m2
Onde x1 e x2 são as posições das massas m1 e m2, respectivamente.

Passo 3

Agora, como o trilho é sem atrito e não há forças externas agindo no sistema, a quantidade de movimento total do sistema é conservada. Isso significa que a velocidade do centro de massa ( vcm) permanece constante.

Passo 4

Para analisar o movimento das massas em relação ao centro de massa, vamos definir deslocamentos relativos. Vamos chamar x'1 e x'2 os deslocamentos das massas em relação ao centro de massa. Assim, temos:
x1 = xcm + x'1
x2 = xcm + x'2

Passo 5

Substituindo essas expressões na equação do centro de massa, e sabendo que a posição do centro de massa está se movimentando com velocidade constante, podemos deduzir que:
m1x'1 + m2x'2 = 0
Isso mostra que os deslocamentos das duas massas são relacionados e que uma se move na direção oposta à outra.

Passo 6

Agora, vamos olhar para as forças atuando nas massas devido à mola. A força na mola é restauradora e proporcional ao deslocamento, seguindo a Lei de Hooke:
F = -k(x2 - x1)
Mas como substituímos x1 e x2 pelos deslocamentos relativos ao centro de massa, temos que a força que atua em cada massa é:
F1 = -k x'1
F2 = -k x'2

Passo 7

Aplicando a segunda lei de Newton para cada massa:
m1 d^2x'1dt^2 = -k x'1
m2 d^2x'2dt^2 = -k x'2
Essas são equações diferenciais de movimento harmônico simples para cada massa.

Passo 8

Sabemos que a solução geral para uma equação de MHS é:
x(t) = A cos(omega t + phi)
Onde omega é a frequência angular. Comparando com as equações que temos, identificamos que:
omega = raizkmeff
Onde meff é a massa efetiva do sistema.

Passo 9

A massa efetiva para duas massas em equilíbrio é dada por:
meff = m1 m2m1 + m2
Então, substituindo na expressão da frequência angular:

Resposta

A frequência angular das oscilações é:

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