Exercício 2.4. Duas massas
e
, livres para se movimentarem sobre um trilho horizontal sem atrito, estão conectadas por uma mola cuja constante elástica é
. Mostre que o centro de massa move-se com velocidade constante enquanto as massas executam um movimento harmônico simples em torno do centro de massa. Obtenha a frequência angular de oscilação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas massas,
e
, que estão se movendo em um trilho sem atrito e conectadas por uma mola com constante elástica
. O objetivo é mostrar que o centro de massa das duas massas se move com velocidade constante e que cada massa faz um movimento harmônico simples (MHS) ao redor desse centro de massa. Além disso, precisamos calcular a frequência angular dessa oscilação. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de centro de massa, leis de Newton e movimento harmônico simples.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a posição do centro de massa (
) das duas massas. A fórmula para o centro de massa de duas partículas é:
Onde
e
são as posições das massas
e
, respectivamente.
Passo 3
Agora, como o trilho é sem atrito e não há forças externas agindo no sistema, a quantidade de movimento total do sistema é conservada. Isso significa que a velocidade do centro de massa (
) permanece constante.
Passo 4
Para analisar o movimento das massas em relação ao centro de massa, vamos definir deslocamentos relativos. Vamos chamar
e
os deslocamentos das massas em relação ao centro de massa. Assim, temos:
Passo 5
Substituindo essas expressões na equação do centro de massa, e sabendo que a posição do centro de massa está se movimentando com velocidade constante, podemos deduzir que:
Isso mostra que os deslocamentos das duas massas são relacionados e que uma se move na direção oposta à outra.
Passo 6
Agora, vamos olhar para as forças atuando nas massas devido à mola. A força na mola é restauradora e proporcional ao deslocamento, seguindo a Lei de Hooke:
Mas como substituímos
e
pelos deslocamentos relativos ao centro de massa, temos que a força que atua em cada massa é:
Passo 7
Aplicando a segunda lei de Newton para cada massa:
Essas são equações diferenciais de movimento harmônico simples para cada massa.
Passo 8
Sabemos que a solução geral para uma equação de MHS é:
Onde
é a frequência angular. Comparando com as equações que temos, identificamos que:
Onde
é a massa efetiva do sistema.
Passo 9
A massa efetiva para duas massas em equilíbrio é dada por:
Então, substituindo na expressão da frequência angular:
Resposta
A frequência angular das oscilações é: