Exercício 4. Seja ( V,+, \cdot ) o espaço vetorial real formado pelas matrizes quadradas de ordem \underline{n}, munido com as operações usuais de adição de matrizes e multiplicação de número real por matrizes. Quais dos seguintes subconjuntos W do espaço vetorial real ( V,+, \cdot ) são subespaços vetoriais de V ? Justifique sua resposta. W \doteq\{A \in V ; A é matriz não inversível \}.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial real V como o conjunto de todas as matrizes quadradas de ordem n com operações usuais, e o subconjunto
W = \{A\in V \mid A\text{ é não inversível}\}.éãí
A pergunta é: W é subespaço vetorial de V?
Passo 2
Para W ser subespaço de V, é preciso verificar três condições:
0_V\in W.
Se A,B\in W então A+B\in W.
Se A\in W e k\in\mathbb{R} então kA\in W.
Passo 3
Verificação de 0_V\in W:
O elemento neutro 0_V de V é a matriz nula, cuja determinante é
\det(0_V)=0,
logo 0_V é não inversível e portanto 0_V\in W.
Passo 4
Verificação de fechamento em escalares:
Se A\in W, então \det(A)=0. Para k\in\mathbb{R} temos
\det(kA)=k^n\det(A)=k^n\cdot0=0,
logo kA também é não inversível, isto é, kA\in W.
Passo 5
Verificação de fechamento na soma (contraexemplo):
Escolha n\ge2 e considere