Exercício 4. Seja ( V,+, \cdot ) o espaço vetorial real formado pelas matrizes quadradas de ordem \underline{n}, munido com as operações usuais de adição de matrizes e multiplicação de número real por matrizes. Quais dos seguintes subconjuntos W do espaço vetorial real ( V,+, \cdot ) são subespaços vetoriais de V ? Justifique sua resposta.
W \doteq\{A \in V ; A é matriz não inversível \}.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial real V como o conjunto de todas as matrizes quadradas de ordem n com operações usuais, e o subconjunto
W = \{A\in V \mid A\text{ é não inversível}\}.éãí
A pergunta é: W é subespaço vetorial de V?

Passo 2

Para W ser subespaço de V, é preciso verificar três condições:
  1. 0_V\in W.
  2. Se A,B\in W então A+B\in W.
  3. Se A\in W e k\in\mathbb{R} então kA\in W.

Passo 3

Verificação de 0_V\in W:
O elemento neutro 0_V de V é a matriz nula, cuja determinante é
\det(0_V)=0,
logo 0_V é não inversível e portanto 0_V\in W.

Passo 4

Verificação de fechamento em escalares:
Se A\in W, então \det(A)=0. Para k\in\mathbb{R} temos
\det(kA)=k^n\det(A)=k^n\cdot0=0,
logo kA também é não inversível, isto é, kA\in W.

Passo 5

Verificação de fechamento na soma (contraexemplo):
Escolha n\ge2 e considere
A=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.
Temos \det(A)=0 e \det(B)=0, logo A,B\in W. Mas
A+B = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}
é invertível (determinante igual a 1). Portanto A+B\notin W, e W não é fechado sob adição.

Resposta

W não é subespaço vetorial de V, pois falha a condição de fechamento sob adição.

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