Exercício 4. Seja ( V,+, \cdot ) o espaço vetorial real formado pelas matrizes quadradas de ordem \underline{n}, munido com as operações usuais de adição de matrizes e multiplicação de número real por matrizes. Quais dos seguintes subconjuntos W do espaço vetorial real ( V,+, \cdot ) são subespaços vetoriais de V ? Justifique sua resposta. W \doteq\{A ; A B=B A\}, para uma matriz B \in V fixada.
Passo 1
O enunciado define V como o espaço vetorial de todas as matrizes reais n\times n e fixa uma matriz B\in V. O subconjunto
W = \{\,A\in V \mid AB = BA\}
é o conjunto das matrizes que comutam com B. Para mostrar que W é subespaço vetorial de V vamos usar o teste padrão de subespaço:
Verificar que 0\in W.
Verificar que, se A,C\in W, então A+C\in W.
Verificar que, se A\in W e \lambda\in\mathbb{R}, então \lambda A\in W.
Passo 2
Mostrar que a matriz nula 0 pertence a W. Como
0\cdot B = 0 = B\cdot 0,
temos 0B = B0, logo 0\in W.
Passo 3
Fechamento sob adição. Sejam A,C\in W. Isso significa
AB = BA \quad\text{e}\quad CB = BC.
Então
(A+C)B = AB + CB = BA + BC = B(A+C),
portanto A+C também comuta com B, ou seja, A+C\in W.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar. Seja A\in W e \lambda\in\mathbb{R}. Como AB=BA, multiplicando por \lambda obtemos