Exercício 3. Sejam
A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ 3 & -4 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{cc} 5 & 0 \\\\ -6 & 7 \end{array}\right), \quad C=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -3 & 4 \\\\ 2 & 6 & -5 \end{array}\right), \quad D=\left(\begin{array}{ccc} 3 & 7 & -1 \\\\ 4 & -8 & 9 \end{array}\right)
Encontre
A^{2} e A^{3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as potências da matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & -4\end{pmatrix}
isto é, encontrar \,A^2 e \,A^3. O conteúdo da matéria envolvido é multiplicação de matrizes 2\times2.

Passo 2

Para multiplicar duas matrizes 2\times2, digamos X e Y, cada elemento (i,j) de XY é dado por
(XY)_{ij} \;=\;\sum_{k=1}^{2} X_{ik}\,Y_{kj}.
Em palavras, multiplica-se cada entrada da linha i de X pela correspondente da coluna j de Y e soma-se esses produtos.

Passo 3

Aplicando isso para obter A^2 = A\cdot A, temos
A^2 = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + 2\cdot3 & 1\cdot2 + 2\cdot(-4) \\[6pt] 3\cdot1 + (-4)\cdot3 & 3\cdot2 + (-4)\cdot(-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -6 \\[3pt] -9 & 22 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Para A^3, fazemos A^3 = A^2 \cdot A:
A^3 = \begin{pmatrix} 7\cdot1 + (-6)\cdot3 & 7\cdot2 + (-6)\cdot(-4) \\[6pt] -9\cdot1 + 22\cdot3 & -9\cdot2 + 22\cdot(-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 & 38 \\[3pt] 57 & -106 \end{pmatrix}.]

Resposta

A^2 = \begin{pmatrix}7 & -6 \\\\ -9 & 22\end{pmatrix}, \quad A^3 = \begin{pmatrix}-11 & 38 \\\\ 57 & -106\end{pmatrix}.

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