Exercício 3. Sejam
A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ 3 & -4 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{cc} 5 & 0 \\\\ -6 & 7 \end{array}\right), \quad C=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -3 & 4 \\\\ 2 & 6 & -5 \end{array}\right), \quad D=\left(\begin{array}{ccc} 3 & 7 & -1 \\\\ 4 & -8 & 9 \end{array}\right)
Encontre
A D e B D

Passo 1

O enunciado fornece as matrizes
A = \begin{pmatrix}1 & 2\\\ 3 & -4\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}5 & 0\\\ -6 & 7\end{pmatrix},\quad D = \begin{pmatrix}3 & 7 & -1\\\ 4 & -8 & 9\end{pmatrix}
e pede os produtos A D e B D. Vamos usar a definição de multiplicação de matrizes, em que se “faz o produto escalar de cada linha de uma pela cada coluna da outra”.

Passo 2

Se X é m\times n e Y é n\times p, então o produto XY é uma matriz m\times p cujos elementos são
(XY)_{ij} \;=\;\sum_{k=1}^{n} X_{ik}\,Y_{kj}.

Passo 3

Aplicando a regra ao produto A D (que será 2\times3), obtemos
A D =\begin{pmatrix} 1\cdot3+2\cdot4 & 1\cdot7+2\cdot(-8) & 1\cdot(-1)+2\cdot9\\[6pt] 3\cdot3+(-4)\cdot4 & 3\cdot7+(-4)\cdot(-8) & 3\cdot(-1)+(-4)\cdot9 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 11 & -9 & 17\\\\ -7 & 53 & -39 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora calculamos B D, também 2\times3:
B D =\begin{pmatrix} 5\cdot3+0\cdot4 & 5\cdot7+0\cdot(-8) & 5\cdot(-1)+0\cdot9\\[6pt] (-6)\cdot3+7\cdot4 & (-6)\cdot7+7\cdot(-8) & (-6)\cdot(-1)+7\cdot9 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 15 & 35 & -5\\\\ 10 & -98 & 69 \end{pmatrix}.]

Resposta

A D = \begin{pmatrix} 11 & -9 & 17\\\\ -7 & 53 & -39 \end{pmatrix}, \qquad B D = \begin{pmatrix} 15 & 35 & -5\\\\ 10 & -98 & 69 \end{pmatrix}.

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