Exercício 4. Sejam
A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ 3 & -4 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{cc} 5 & 0 \\\\ -6 & 7 \end{array}\right), \quad C=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -3 & 4 \\\\ 2 & 6 & -5 \end{array}\right), \quad D=\left(\begin{array}{ccc} 3 & 7 & -1 \\\\ 4 & -8 & 9 \end{array}\right)
Encontre (a) A^{T}, (b) B^{T}, (c) (A B)^{T}, (d) A^{T} B^{T}.

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes
A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[6pt] 3 & -4\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}5 & 0 \\[6pt] -6 & 7\end{pmatrix}
e pede:
(a) A^{T}, (b) B^{T}, (c) (AB)^{T}, (d) A^{T}B^{T}.
O conteúdo principal é definição de transposta e multiplicação de matrizes.]

Passo 2

Para achar a transposta de A, basta trocar linhas por colunas:
A^{T} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\\\ 2 & -4 \end{pmatrix}.

Passo 3

De modo análogo, a transposta de B é
B^{T} = \begin{pmatrix} 5 & -6 \\\\ 0 & 7 \end{pmatrix}.

Passo 4

Primeiro calculamos o produto AB. Seja C=AB; cada entrada c_{ij} é
c_{ij} = \sum_{k=1}^{2} a_{ik}\,b_{kj}.
Isso dá
AB = \begin{pmatrix} 1\cdot5 + 2\cdot(-6) & 1\cdot0 + 2\cdot7 \\[4pt] 3\cdot5 + (-4)\cdot(-6) & 3\cdot0 + (-4)\cdot7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 & 14 \\\\ 39 & -28 \end{pmatrix}.
Agora, usando a definição de transposta, trocamos linhas por colunas em AB:
(AB)^{T} = \begin{pmatrix} -7 & 39 \\\\ 14 & -28 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Para A^{T}B^{T}, multiplicamos
\displaystyle A^{T}=\begin{pmatrix}1&3\\\ 2&-4\end{pmatrix}
por
\displaystyle B^{T}=\begin{pmatrix}5&-6\\\ 0&7\end{pmatrix}.
Cada entrada é o produto escalar de linha de A^{T} por coluna de B^{T}:
A^{T}B^{T} = \begin{pmatrix} 1\cdot5 + 3\cdot0 & 1\cdot(-6) + 3\cdot7 \\[4pt] 2\cdot5 + (-4)\cdot0 & 2\cdot(-6) + (-4)\cdot7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 15 \\\\ 10 & -40 \end{pmatrix}.]

Resposta

(a)
A^{T} = \begin{pmatrix}1 & 3 \\\\ 2 & -4\end{pmatrix}
(b)
B^{T} = \begin{pmatrix}5 & -6 \\\\ 0 & 7\end{pmatrix}
(c)
(AB)^{T} = \begin{pmatrix}-7 & 39 \\\\ 14 & -28\end{pmatrix}
(d)
A^{T}B^{T} = \begin{pmatrix}5 & 15 \\\\ 10 & -40\end{pmatrix}

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