Exercício 6. Sejam vec{u}, \vec{v} e vec{w} vetores de V^{3}. Mostre que:
Se \vec{u}+\vec{v}=\vec{u}, então \vec{v}=\overrightarrow{0}.

Passo 1

O enunciado dá que \vec{u},\vec{v},\vec{w} são vetores de V^{3} e que
\vec{u}+\vec{v}=\vec{u}.
A pergunta é: mostre que \vec{v}=\overrightarrow{0} (onde \overrightarrow{0} é o vetor nulo de V^{3}). Listei as informações importantes: a igualdade dada e que \vec{u},\vec{v},\vec{w} pertencem ao mesmo espaço vetorial V^{3}.

Passo 2

Vou recordar duas propriedades básicas de um espaço vetorial (elas são ferramentas que vou usar). Primeiro, existe um vetor nulo \overrightarrow{0} tal que, para todo vetor \vec{x},
\vec{x}+\overrightarrow{0}=\vec{x}.
Segundo, para todo vetor \vec{x} existe um inverso aditivo -\vec{x} tal que
\vec{x}+(-\vec{x})=\overrightarrow{0}.
Exemplo concreto em \mathbb{R}^{3}: (1,2,3)+(0,0,0)=(1,2,3) e (1,2,3)+(-1,-2,-3)=(0,0,0). Também usaremos associatividade da soma de vetores: para quaisquer \vec{a},\vec{b},\vec{c} vale
(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c}).

Passo 3

A ideia é “subtrair” \vec{u} de ambos os lados da igualdade \vec{u}+\vec{v}=\vec{u}. Em espaços vetoriais subtrair significa somar o inverso aditivo. Então some -\vec{u} em ambos os lados:
-\vec{u}+(\vec{u}+\vec{v})=-\vec{u}+\vec{u}.

Passo 4

Use associatividade no lado esquerdo:
(-\vec{u}+\vec{u})+\vec{v}=-\vec{u}+\vec{u}.
Agora aplique a propriedade do inverso aditivo: -\vec{u}+\vec{u}=\overrightarrow{0}. Substituindo:
\overrightarrow{0}+\vec{v}=\overrightarrow{0}.

Passo 5

Finalmente, use a propriedade do elemento neutro: \overrightarrow{0}+\vec{v}=\vec{v}. Assim obtemos
\vec{v}=\overrightarrow{0}.
Pronto — mostramos passo a passo que, a partir de \vec{u}+\vec{v}=\vec{u}, necessariamente \vec{v} é o vetor nulo.

Resposta

\vec{v}=\overrightarrow{0}

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