Exercício 6. Sejam
e
vetores de
. Mostre que:
Se
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado dá que
são vetores de
e que
A pergunta é: mostre que
(onde
é o vetor nulo de
). Listei as informações importantes: a igualdade dada e que
pertencem ao mesmo espaço vetorial
.
Passo 2
Vou recordar duas propriedades básicas de um espaço vetorial (elas são ferramentas que vou usar). Primeiro, existe um vetor nulo
tal que, para todo vetor
,
Segundo, para todo vetor
existe um inverso aditivo
tal que
Exemplo concreto em
:
e
. Também usaremos associatividade da soma de vetores: para quaisquer
vale
Passo 3
A ideia é “subtrair”
de ambos os lados da igualdade
. Em espaços vetoriais subtrair significa somar o inverso aditivo. Então some
em ambos os lados:
Passo 4
Use associatividade no lado esquerdo:
Agora aplique a propriedade do inverso aditivo:
. Substituindo:
Passo 5
Finalmente, use a propriedade do elemento neutro:
. Assim obtemos
Pronto — mostramos passo a passo que, a partir de
, necessariamente
é o vetor nulo.