Exercício 6. Sejam vec{u}, \vec{v} e vec{w} vetores de V^{3}. Mostre que:
Se \vec{u}+\vec{v}=\vec{w}+\vec{v}, então \vec{u}=\vec{w}.

Passo 1

O enunciado dá três vetores \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} de V^{3} e afirma a igualdade
\vec{u}+\vec{v}=\vec{w}+\vec{v}.
A pergunta explícita é: mostre que \vec{u}=\vec{w}.
Informações relevantes dadas: a igualdade entre as somas dos vetores acima e que todos os vetores pertencem ao mesmo espaço vetorial V^{3}.

Passo 2

Ideia do método (curta e direta): vamos usar uma propriedade básica de espaços vetoriais — existe para cada vetor um inverso aditivo (um -\vec{v}) — e somar esse inverso aos dois lados da igualdade para “cancelar” \vec{v}. Essa é a forma mais simples e padrão de provar a igualdade pedida.

Passo 3

Lembrete didático: o que significa cada conceito que vamos usar?
  • A operação + é a soma de vetores; para quaisquer vetores \vec{a},\vec{b} temos \vec{a}+\vec{b} definido em V^{3}.
  • Existe um vetor nulo \vec{0} tal que, para qualquer vetor \vec{x}, vale \vec{x}+\vec{0}=\vec{x}. Esse \vec{0} é o elemento identidade da soma.
  • Para cada vetor \vec{x} existe um inverso aditivo, denotado -\vec{x}, tal que \vec{x}+(-\vec{x})=\vec{0}.
  • A soma de vetores é associativa: (\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c}). (Não precisamos aqui de comutatividade, mas ela também vale em espaços vetoriais reais.)

Passo 4

Aplicação direta da ideia: comece com a igualdade dada. Vou escrever a igualdade numa linha isolada:
\vec{u}+\vec{v}=\vec{w}+\vec{v}.

Passo 5

Agora some o inverso aditivo de \vec{v}, isto é -\vec{v}, aos dois lados da igualdade. Como podemos somar o mesmo vetor aos dois lados de uma igualdade sem alterar a veracidade, obtemos:
(\vec{u}+\vec{v})+(-\vec{v})=(\vec{w}+\vec{v})+(-\vec{v}).

Passo 6

Use a associatividade da soma para reagrupar termos. À esquerda:
(\vec{u}+\vec{v})+(-\vec{v})=\vec{u}+(\vec{v}+(-\vec{v})).
À direita:
(\vec{w}+\vec{v})+(-\vec{v})=\vec{w}+(\vec{v}+(-\vec{v})).

Passo 7

Pelo fato de -\vec{v} ser o inverso aditivo de \vec{v}, temos \vec{v}+(-\vec{v})=\vec{0}. Substituindo nas expressões do passo anterior obtemos:
\vec{u}+\vec{0}=\vec{w}+\vec{0}.

Passo 8

Pela propriedade do vetor nulo (identidade aditiva), \vec{x}+\vec{0}=\vec{x} para qualquer \vec{x}. Aplicando isso às duas parcelas acima segue:
\vec{u}=\vec{w}.
Pronto — chegamos exatamente ao que o enunciado pede.

Passo 9

Um exemplo numérico rápido para fixar a intuição (apenas ilustrativo): tome \vec{u}=(1,2,3), \vec{v}=(4,5,6). Então \vec{u}+\vec{v}=(5,7,9). Se houvesse um \vec{w} tal que \vec{w}+\vec{v}=(5,7,9), subtraindo \vec{v} (isto é, somando -\vec{v}=(-4,-5,-6)) obtemos \vec{w}=(1,2,3)=\vec{u}. Isso mostra concretamente o cancelamento de \vec{v}.

Resposta

\vec{u}=\vec{w}

Exercícios relacionados