Exercício 6. Sejam
e
vetores de
. Mostre que:
Se
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado dá três vetores
e
de
e afirma a igualdade
A pergunta explícita é: mostre que
.
Informações relevantes dadas: a igualdade entre as somas dos vetores acima e que todos os vetores pertencem ao mesmo espaço vetorial .
Informações relevantes dadas: a igualdade entre as somas dos vetores acima e que todos os vetores pertencem ao mesmo espaço vetorial
Passo 2
Ideia do método (curta e direta): vamos usar uma propriedade básica de espaços vetoriais — existe para cada vetor um inverso aditivo (um
) — e somar esse inverso aos dois lados da igualdade para “cancelar”
. Essa é a forma mais simples e padrão de provar a igualdade pedida.
Passo 3
Lembrete didático: o que significa cada conceito que vamos usar?
- A operação
é a soma de vetores; para quaisquer vetores temos definido em . - Existe um vetor nulo
tal que, para qualquer vetor , vale . Esse é o elemento identidade da soma. - Para cada vetor
existe um inverso aditivo, denotado , tal que . - A soma de vetores é associativa:
. (Não precisamos aqui de comutatividade, mas ela também vale em espaços vetoriais reais.)
Passo 4
Aplicação direta da ideia: comece com a igualdade dada. Vou escrever a igualdade numa linha isolada:
Passo 5
Agora some o inverso aditivo de
, isto é
, aos dois lados da igualdade. Como podemos somar o mesmo vetor aos dois lados de uma igualdade sem alterar a veracidade, obtemos:
Passo 6
Use a associatividade da soma para reagrupar termos. À esquerda:
À direita:
Passo 7
Pelo fato de
ser o inverso aditivo de
, temos
. Substituindo nas expressões do passo anterior obtemos:
Passo 8
Pela propriedade do vetor nulo (identidade aditiva),
para qualquer
. Aplicando isso às duas parcelas acima segue:
Pronto — chegamos exatamente ao que o enunciado pede.
Passo 9
Um exemplo numérico rápido para fixar a intuição (apenas ilustrativo): tome
,
. Então
. Se houvesse um
tal que
, subtraindo
(isto é, somando
) obtemos
. Isso mostra concretamente o cancelamento de
.