Exercício 1.2.5 Sendo A=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 3 \\\\ 2 & -3 & -5 \\\\ -1 & 3 & -3\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{ccc}-2 & 1 & -2 \\\\ 1 & 2 & -4 \\\\ 2 & 2 & -3\end{array}\right], efetue cada uma das operações a seguir.
e) A^{2};

Passo 1

O enunciado pede para calcular A^2, onde
A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 3\\\\ 2 & -3 & -5\\\\ -1 & 3 & -3 \end{pmatrix}.
O conteúdo envolvido é multiplicação de matrizes. Vamos usar a definição de produto de duas matrizes quadradas de ordem 3.

Passo 2

Sejam C = A^2 e C = (c_{ij}). Pela definição de produto de matrizes,
c_{ij} = \sum_{k=1}^{3} A_{ik}\,A_{kj}.
Ou seja, cada entrada c_{ij} é o produto escalar da i-ésima linha de A com a j-ésima coluna de A.

Passo 3

Calculando a primeira linha de C: a primeira linha de A é (-1,2,3). As colunas de A são
\text{col}_1 = \begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ -1\end{pmatrix}, \quad \text{col}_2 = \begin{pmatrix}2\\\ -3\\\ 3\end{pmatrix}, \quad \text{col}_3 = \begin{pmatrix}3\\\ -5\\\ -3\end{pmatrix}.
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c_{11} = (-1)(-1) + 2\cdot2 + 3\cdot(-1) = 1 + 4 - 3 = 2,
c_{12} = (-1)\cdot2 + 2\cdot(-3) + 3\cdot3 = -2 - 6 + 9 = 1,
c_{13} = (-1)\cdot3 + 2\cdot(-5) + 3\cdot(-3) = -3 -10 -9 = -22.

Passo 4

Calculando a segunda linha de C: a segunda linha de A é (2,-3,-5).
c_{21} = 2\cdot(-1) + (-3)\cdot2 + (-5)\cdot(-1) = -2 - 6 + 5 = -3,
c_{22} = 2\cdot2 + (-3)\cdot(-3) + (-5)\cdot3 = 4 + 9 -15 = -2,
c_{23} = 2\cdot3 + (-3)\cdot(-5) + (-5)\cdot(-3) = 6 +15 +15 = 36.

Passo 5

Calculando a terceira linha de C: a terceira linha de A é (-1,3,-3).
c_{31} = (-1)\cdot(-1) + 3\cdot2 + (-3)\cdot(-1) = 1 + 6 + 3 = 10,
c_{32} = (-1)\cdot2 + 3\cdot(-3) + (-3)\cdot3 = -2 - 9 - 9 = -20,
c_{33} = (-1)\cdot3 + 3\cdot(-5) + (-3)\cdot(-3) = -3 -15 + 9 = -9.

Resposta

A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -22\\\\ -3 & -2 & 36\\\\ 10 & -20 & -9 \end{pmatrix}

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