Exercício 1.2.5 Sendo A=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 3 \\\\ 2 & -3 & -5 \\\\ -1 & 3 & -3\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{ccc}-2 & 1 & -2 \\\\ 1 & 2 & -4 \\\\ 2 & 2 & -3\end{array}\right], efetue cada uma das operações a seguir.
f) B^{2};

Passo 1

O enunciado dá a matriz
B = \begin{pmatrix} -2 & 1 & -2\\\\ 1 & 2 & -4\\\\ 2 & 2 & -3 \end{pmatrix}
e pede B^2. O conteúdo é multiplicação de matrizes, usando o produto linha–coluna: cada elemento (B^2)_{ij} é a soma dos produtos dos termos da i-ésima linha de B pelos termos da j-ésima coluna de B.

Passo 2

Definimos
B^2 = B\cdot B,
ou seja, (B^2)_{ij} = \sum_{k=1}^3 B_{ik}\,B_{kj}. Vamos calcular linha a linha.

Passo 3

Primeira linha de B^2: multiplicamos (-2,\,1,\,-2) pelas colunas de B:
(B^2)_{11} = (-2)(-2) + 1\cdot1 + (-2)\cdot2 = 4 + 1 - 4 = 1,
(B^2)_{12} = (-2)\cdot1 + 1\cdot2 + (-2)\cdot2 = -2 + 2 - 4 = -4,
(B^2)_{13} = (-2)(-2) + 1\cdot(-4) + (-2)(-3) = 4 - 4 + 6 = 6.

Passo 4

Segunda linha de B^2: multiplicamos (1,\,2,\,-4) pelas colunas de B:
(B^2)_{21} = 1\cdot(-2) + 2\cdot1 + (-4)\cdot2 = -2 + 2 - 8 = -8,
(B^2)_{22} = 1\cdot1 + 2\cdot2 + (-4)\cdot2 = 1 + 4 - 8 = -3,
(B^2)_{23} = 1\cdot(-2) + 2\cdot(-4) + (-4)\cdot(-3) = -2 - 8 + 12 = 2.

Passo 5

Terceira linha de B^2: multiplicamos (2,\,2,\,-3) pelas colunas de B:
(B^2)_{31} = 2\cdot(-2) + 2\cdot1 + (-3)\cdot2 = -4 + 2 - 6 = -8,
(B^2)_{32} = 2\cdot1 + 2\cdot2 + (-3)\cdot2 = 2 + 4 - 6 = 0,
(B^2)_{33} = 2\cdot(-2) + 2\cdot(-4) + (-3)\cdot(-3) = -4 - 8 + 9 = -3.

Passo 6

Reunindo as três linhas, obtemos
B^2 = \begin{pmatrix} 1 & -4 & 6\\\\ -8 & -3 & 2\\\\ -8 & 0 & -3 \end{pmatrix}.

Resposta

B^2 = \begin{pmatrix} 1 & -4 & 6\\\\ -8 & -3 & 2\\\\ -8 & 0 & -3 \end{pmatrix}

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