Exercício 1.2.5 Sendo A=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 3 \\\\ 2 & -3 & -5 \\\\ -1 & 3 & -3\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{ccc}-2 & 1 & -2 \\\\ 1 & 2 & -4 \\\\ 2 & 2 & -3\end{array}\right], efetue cada uma das operações a seguir.
g) 2 A^{2}+4 B^{2};

Passo 1

O enunciado pede para calcular
2A^{2} + 4B^{2}
sendo
A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 3\\[6pt] 2 & -3 & -5\\[6pt] -1 & 3 & -3 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} -2 & 1 & -2\\[6pt] 1 & 2 & -4\\[6pt] 2 & 2 & -3 \end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é multiplicação de matrizes para obter A^2 e B^2, seguido de multiplicação escalar e soma de matrizes.]

Passo 2

Vamos calcular
A^2 = A \cdot A.
Usando a regra de multiplicação (linha por coluna), obtemos
A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -22\\[4pt] -3 & -2 & 36\\[4pt] 10 & -20 & -9 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora calculamos
B^2 = B \cdot B.
Aplicando o mesmo procedimento, chega-se a
B^2 = \begin{pmatrix} 1 & -4 & 6\\[4pt] -8 & -3 & 2\\[4pt] -8 & 0 & -3 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Escalamos as matrizes obtidas:
2A^2 = 2\cdot\begin{pmatrix} 2 & 1 & -22\\[4pt] -3 & -2 & 36\\[4pt] 10 & -20 & -9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 & -44\\[4pt] -6 & -4 & 72\\[4pt] 20 & -40 & -18 \end{pmatrix},
4B^2 = 4\cdot\begin{pmatrix} 1 & -4 & 6\\[4pt] -8 & -3 & 2\\[4pt] -8 & 0 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -16 & 24\\[4pt] -32 & -12 & 8\\[4pt] -32 & 0 & -12 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Somamos as duas matrizes escalares:
2A^2 + 4B^2 = \begin{pmatrix} 4 & 2 & -44\\[4pt] -6 & -4 & 72\\[4pt] 20 & -40 & -18 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & -16 & 24\\[4pt] -32 & -12 & 8\\[4pt] -32 & 0 & -12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & -14 & -20\\[4pt] -38 & -16 & 80\\[4pt] -12 & -40 & -30 \end{pmatrix}.]

Resposta

2A^{2} + 4B^{2} = \begin{pmatrix} 8 & -14 & -20\\[4pt] -38 & -16 & 80\\[4pt] -12 & -40 & -30 \end{pmatrix}.]

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