Exercício 2 Um sistema é formado por 5 componentes; cada um deles ou está funcionando ou está estragado. Considere um experimento aleatório que consiste em observar a condição de cada componente e represente o resultado do experimento como o vetor ( x1, x2, ldots, x5 ), em que
1, se o componente i para todo i=1,2, ldots,
estiver funcionando, 5 . xi=
0 , se o componente i
estiver estragado
(a) Existem quantos resultados no espaço amostral Omega desse experimento?
(b) Suponha que o sistema irá funcionar se os componentes 1 e 2 estiverem funcionando, ou se os componentes 3 e 4 estiverem funcionando, ou se os componentes 1, 3 e 5 estiverem funcionando. Existem quantos resultados no evento W em que o sistema irá funcionar.

Passo 1

Então, o exercício é sobre um sistema de 5 componentes que podem estar “liga­­dos” (1) ou “desliga­­dos” (0). A matéria aqui é contagem de resultados em espaços amostrais e eventos, usando noções básicas de combinatória e, no item (b), o Princípio da Inclusão-Exclusão. Vamos precisar:
  • Saber que cada componente tem 2 estados, totalizando resultados.
  • Definir os subconjuntos de resultados em que o sistema “funciona” segundo as três condições dadas.
  • Contar quantos vetores satisfazem cada condição, as interseções e aplicar Inclusão-Exclusão.

Passo 2

(a) Quantos resultados no espaço amostral |Omega| = 2^5 = 32 ?
Cada um dos 5 componentes tem 2 possibilidades (0 ou 1), e essas escolhas são independentes. Logo,

Passo 3

(b) Vamos chamar de:
A = “componentes 1 e 2 funcionando” (ou seja |W| = |A| + |B| + |C| - l(|Acap B| + |Acap C| + |Bcap C|r) + |Acap Bcap C| ),
B = “componentes 3 e 4 funcionando” ( ),
C = “componentes 1, 3 e 5 funcionando” ( ).
O evento em que o sistema funciona é . Para contar usamos o Princípio da Inclusão-Exclusão:

Passo 4

Vamos achar cada parcela:
  1. : fixei , os outros 3 são livres. Então .
  2. : fixei , os outros 3 são livres. Então .
  3. : fixei , sobraram 2 livres ( ), então .
  4. : juntas as condições de A e B, fixei , sobra 1 livre ( ), logo .
  5. : A e C juntas impõem , sobra , então 2 possibilidades.
  6. : B e C dão , sobra , então 2 possibilidades.
  7. : todos os cinco são 1, só 1 resultado.

Passo 5

Substituindo em Inclusão-Exclusão:
|W| = 8 + 8 + 4 ;-;(2 + 2 + 2);+;1 = 20 ;-;6 ;+;1 = 15

Resposta

(a)
(b)

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