Exercício 2 Um sistema é formado por 5 componentes; cada um deles ou está funcionando ou está estragado. Considere um experimento aleatório que consiste em observar a condição de cada componente e represente o resultado do experimento como o vetor (
), em que
1, se o componente
para todo
,
estiver funcionando, 5 .
0 , se o componente i
estiver estragado
(a) Existem quantos resultados no espaço amostral
desse experimento?
(b) Suponha que o sistema irá funcionar se os componentes 1 e 2 estiverem funcionando, ou se os componentes 3 e 4 estiverem funcionando, ou se os componentes 1, 3 e 5 estiverem funcionando. Existem quantos resultados no evento
em que o sistema irá funcionar.
estiver funcionando, 5 .
0 , se o componente i
estiver estragado
(a) Existem quantos resultados no espaço amostral
(b) Suponha que o sistema irá funcionar se os componentes 1 e 2 estiverem funcionando, ou se os componentes 3 e 4 estiverem funcionando, ou se os componentes 1, 3 e 5 estiverem funcionando. Existem quantos resultados no evento
Passo 1
Então, o exercício é sobre um sistema de 5 componentes que podem estar “ligados” (1) ou “desligados” (0). A matéria aqui é contagem de resultados em espaços amostrais e eventos, usando noções básicas de combinatória e, no item (b), o Princípio da Inclusão-Exclusão. Vamos precisar:
- Saber que cada componente tem 2 estados, totalizando
resultados. - Definir os subconjuntos de resultados em que o sistema “funciona” segundo as três condições dadas.
- Contar quantos vetores satisfazem cada condição, as interseções e aplicar Inclusão-Exclusão.
Passo 2
(a) Quantos resultados no espaço amostral
?
Cada um dos 5 componentes tem 2 possibilidades (0 ou 1), e essas escolhas são independentes. Logo,
Cada um dos 5 componentes tem 2 possibilidades (0 ou 1), e essas escolhas são independentes. Logo,
Passo 3
(b) Vamos chamar de:
A = “componentes 1 e 2 funcionando” (ou seja ),
B = “componentes 3 e 4 funcionando” ( ),
C = “componentes 1, 3 e 5 funcionando” ( ).
O evento em que o sistema funciona é
. Para contar
usamos o Princípio da Inclusão-Exclusão:
A = “componentes 1 e 2 funcionando” (ou seja
B = “componentes 3 e 4 funcionando” (
C = “componentes 1, 3 e 5 funcionando” (
O evento
Passo 4
Vamos achar cada parcela:
-
: fixei , os outros 3 são livres. Então . -
: fixei , os outros 3 são livres. Então . -
: fixei , sobraram 2 livres ( ), então . -
: juntas as condições de A e B, fixei , sobra 1 livre ( ), logo . -
: A e C juntas impõem , sobra , então 2 possibilidades. -
: B e C dão , sobra , então 2 possibilidades. -
: todos os cinco são 1, só 1 resultado.
Passo 5
Substituindo em Inclusão-Exclusão:
Resposta
(a)
(b)
(b)