Exercício 3 Sejam A, B e C três eventos de um espaço amostral. Determine expressões em função de A, B e C para os eventos:
(a) somente A ocorre;
(b) A e B ocorrem, mas C não ocorre;
© pelo menos um dos eventos ocorre;
(d) exatamente um dos eventos ocorre;

Passo 1

Beleza, aqui o que rola é: temos três eventos num espaço amostral, chamados A, B e C. A matéria é operações com eventos (teoria de conjuntos na probabilidade): união (∪), interseção (∩) e complemento (^c). A gente vai usar essas operações pra descrever situações tipo “só A acontece”, “pelo menos um acontece” etc. Não precisa ter decorado nada: só saber que
  • A∩B significa “A e B ocorrem simultaneamente”,
  • A∪B significa “A ou B (ou ambos) ocorrem”,
  • A^c é o “não A” (o evento complementar),
  • A∖B é tipo “A e não B” (igual a A∩B^c).
Pronto, com isso a gente resolve os itens (a)-(d).

Passo 2

Item (a): “somente A ocorre”.
Isso quer dizer que A acontece, mas B não e C não. Em linguagem de conjuntos:
somente A = A cap B^c cap C^c
Aqui usei B^c e C^c pra dizer “B não ocorre” e “C não ocorre” e aí fiz interseção com A.

Passo 3

Item (b): “A e B ocorrem, mas C não ocorre”.
É quase igual ao (a), só que agora queremos A e B juntos, e excluir C. Logo:
Acap Bcap C^c

Passo 4

Item ©: “pelo menos um dos eventos ocorre”.
“Pelo menos um” é a união de A, B e C, porque basta que qualquer um — ou dois — ou os três ocorram:
Acup Bcup C

Passo 5

Item (d): “exatamente um dos eventos ocorre”.
Aqui a gente quer a união de três situações mutuamente exclusivas:
  1. só A, 2) só B, 3) só C.
    Já sabemos “só A” é Acap B^ccap C^c, e o mesmo esquema vale pra B e C. Então:
l(Acap B^ccap C^cr);cup;l(A^ccap Bcap C^cr);cup;l(A^ccap B^ccap Cr)

Resposta

(a) Acap B^ccap C^c
(b) Acap Bcap C^c
© Acup Bcup C
(d) (Acap B^ccap C^c);cup;(A^ccap Bcap C^c);cup;(A^ccap B^ccap C)

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