Exercício 3 Sejam A, B e C três eventos de um espaço amostral. Determine expressões em função de
e
para os eventos:
(a) somente A ocorre;
(b) A e B ocorrem, mas C não ocorre;
© pelo menos um dos eventos ocorre;
(d) exatamente um dos eventos ocorre;
(a) somente A ocorre;
(b) A e B ocorrem, mas C não ocorre;
© pelo menos um dos eventos ocorre;
(d) exatamente um dos eventos ocorre;
Passo 1
Beleza, aqui o que rola é: temos três eventos num espaço amostral, chamados A, B e C. A matéria é operações com eventos (teoria de conjuntos na probabilidade): união (∪), interseção (∩) e complemento (^c). A gente vai usar essas operações pra descrever situações tipo “só A acontece”, “pelo menos um acontece” etc. Não precisa ter decorado nada: só saber que
- A∩B significa “A e B ocorrem simultaneamente”,
- A∪B significa “A ou B (ou ambos) ocorrem”,
- A^c é o “não A” (o evento complementar),
- A∖B é tipo “A e não B” (igual a A∩B^c).
Pronto, com isso a gente resolve os itens (a)-(d).
Passo 2
Item (a): “somente A ocorre”.
Isso quer dizer que A acontece, mas B não e C não. Em linguagem de conjuntos:
Isso quer dizer que A acontece, mas B não e C não. Em linguagem de conjuntos:
Aqui usei B^c e C^c pra dizer “B não ocorre” e “C não ocorre” e aí fiz interseção com A.
Passo 3
Item (b): “A e B ocorrem, mas C não ocorre”.
É quase igual ao (a), só que agora queremos A e B juntos, e excluir C. Logo:
É quase igual ao (a), só que agora queremos A e B juntos, e excluir C. Logo:
Passo 4
Item ©: “pelo menos um dos eventos ocorre”.
“Pelo menos um” é a união de A, B e C, porque basta que qualquer um — ou dois — ou os três ocorram:
“Pelo menos um” é a união de A, B e C, porque basta que qualquer um — ou dois — ou os três ocorram:
Passo 5
Item (d): “exatamente um dos eventos ocorre”.
Aqui a gente quer a união de três situações mutuamente exclusivas:
Aqui a gente quer a união de três situações mutuamente exclusivas:
- só A, 2) só B, 3) só C.
Já sabemos “só A” é, e o mesmo esquema vale pra B e C. Então:
Resposta
(a)
(b)
©
(d)
(b)
©
(d)