Exercício 2: Um sistema possui 8 sensores independentes. Cada sensor funciona corretamente com probabilidade 0,95 . Qual a probabilidade de todos funcionarem corretamente?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só.
  • 8 sensores, independentes entre si.
  • Cada sensor funciona corretamente com probabilidade 0,95.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que todos os 8 sensores funcionem corretamente?

Passo 2

Entender o que significa “independentes” e “probabilidade de todos funcionarem”.
  • “Independentes” quer dizer, na prática, que o funcionamento de um sensor não altera a probabilidade de funcionamento dos outros. Então a chance conjunta de vários sensores funcionarem é obtida combinando as probabilidades individuais de forma multiplicativa.
  • Se tivermos eventos A e B independentes, então \Pr(A\cap B)=\Pr(A)\cdot\Pr(B). Isso generaliza para qualquer número finito de eventos independentes: a probabilidade de todos ocorrerem é o produto das probabilidades individuais.

Passo 3

Aplicando essa regra ao problema: queremos a probabilidade de que os sensores 1,2,\dots,8 funcionem todos. Denotando por E_i o evento “sensor i funciona”, temos que queremos
\Pr(E_1\cap E_2\cap\cdots\cap E_8).
Como os sensores são independentes e cada \Pr(E_i)=0,95, o produto é
\Pr(E_1\cap\cdots\cap E_8)=0,95\cdot0,95\cdots \text{(8 vezes)} = 0,95^{8}.

Passo 4

Agora calcular numericamente 0,95^{8}. Uma forma prática de fazer sem calculadora é ir elevando ao quadrado passo a passo:
  • Primeiro quadrado:
0,95^{2}=0,9025.
  • Em seguida:
0,95^{4}=(0,95^{2})^{2}=0,9025^{2}=0,81450625.
  • Finalmente:
0,95^{8}=(0,95^{4})^{2}=0,81450625^{2}=0,663420431\ldots

Passo 5

Interpretação e arredondamento para uso na prova: \,0,95^{8}\approx0,6634. Ou seja, cerca de 66{,}34\% de chance de todos os oito sensores funcionarem corretamente.

Resposta

0,95^{8}\approx0,6634

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