Elabore uma tabela com medidas resumo ( n, média, desvio padrão, mínimo, máximo e os quartis) para a variável ‘renda’ segundo o ‘local’. Elabore um boxplot da renda segundo o local. Discuta os resultados.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Elaborar uma tabela com medidas-resumo (para cada nível de local: n, média, desvio padrão, mínimo, primeiro quartil, mediana, terceiro quartil e máximo) para a variável renda.
  • Elaborar um boxplot da variável renda estratificado por local e discutir os resultados.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Foi indicada a variável de interesse: renda.
  • Foi indicada a variável de agrupamento: local.
Informação que falta e que impede obter os resultados numéricos:
  • Não foram fornecidos os dados (o conjunto com as observações de renda e a etiqueta local). Como esses números não foram enviados, não é possível calcular a tabela nem desenhar o boxplot com valores reais.

Passo 2

O que eu posso fazer agora: ensinar passo a passo como calcular todas as medidas pedidas (manual e em software), mostrar código pronto (R e Python) que você pode rodar quando tiver os dados, e dar um exemplo numérico pequeno e comentado para você ver como interpretar os resultados e o boxplot. Assim, quando você tiver o arquivo/df na prova ou no computador, você aplica imediatamente.
Primeiro, definições e fórmulas (tudo explicado devagar):
  • Número de observações: para um grupo g, n_g é o número de observações de renda naquele grupo.
  • Média (aritmética) do grupo g:
\bar{x}_g=\frac{1}{n_g}\sum_{i=1}^{n_g} x_{i,g},
onde x_{i,g} é a i-ésima observação de renda no grupo g.
  • Desvio padrão amostral (estimador clássico, usa n_g-1 no denominador):
s_g=\sqrt{\frac{1}{n_g-1}\sum_{i=1}^{n_g}\bigl(x_{i,g}-\bar{x}_g\bigr)^2}.
Explicação: o desvio padrão mede o espalhamento das rendas em torno da média; usamos n_g-1 para corrigir viés quando estimamos a variabilidade da população a partir de uma amostra.
  • Mínimo e máximo: \min(x_{i,g}) e \max(x_{i,g}).
  • Mediana (segundo quartil): valor que separa a metade inferior da metade superior. Procedimento:
    • Ordene os x_{i,g} em ordem crescente.
    • Se n_g é ímpar, a mediana é o elemento no posto (n_g+1)/2.
    • Se n_g é par, a mediana é a média dos dois elementos centrais.
  • Primeiro quartil Q_{1,g} e terceiro quartil Q_{3,g}:
    • Definição prática (método de divisão em duas metades): após ordenar, Q_1 é a mediana da metade inferior (exclui a mediana se n_g ímpar) e Q_3 é a mediana da metade superior. Observação: softwares podem usar métodos de interpolação diferentes (R usa por padrão o tipo 7 de quantile); para provas, esclareça qual definição aceitaram no curso, ou use o mesmo método que o professor pedir.
  • Boxplot (caixa e bigodes):
    • Caixa vai de Q_1 até Q_3; linha na caixa = mediana.
    • Comprimento da caixa = intervalo interquartílico IQR = Q_3-Q_1.
    • “Bigodes” normalmente se estendem até o maior/smaller valor dentro de [Q_1-1{,}5\cdot IQR,\, Q_3+1{,}5\cdot IQR]. Pontos fora disso são considerados outliers e plotados separadamente.

Passo 3

Como calcular passo a passo manualmente (fazer na prova sem computador):
  1. Separe os dados por local.
  2. Para cada local:
    • Ordene as rendas daquele grupo.
    • Conte n_g.
    • Calcule \bar{x}_g usando \displaystyle \bar{x}_g=\frac{1}{n_g}\sum_{i=1}^{n_g} x_{i,g}.
    • Calcule s_g usando \displaystyle s_g=\sqrt{\frac{1}{n_g-1}\sum_{i=1}^{n_g}(x_{i,g}-\bar{x}_g)^2}. Dica prática: calcule somas \sum x_{i,g} e \sum x_{i,g}^2 e use a identidade \sum (x_{i,g}-\bar{x}_g)^2=\sum x_{i,g}^2 - n_g\bar{x}_g^2 para evitar subtrações muito pequenas.
    • Identifique \min e \max diretamente na lista ordenada.
    • Encontre Q_1, mediana, Q_3 conforme procedimento de mediana da metade inferior/superior.
  3. Monte a tabela com colunas: local, n, média, s, mínimo, Q_1, mediana, Q_3, máximo.
Exemplo de cálculo manual da média e s (fórmulas expostas novamente):
\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n},\qquad s=\sqrt{\frac{\sum x_i^2 - n\bar{x}^2}{n-1}}.
Assim evita-se computar muitos (x_i-\bar{x})^2 individualmente se houver muitos dados.

Passo 4

Código pronto — R (o mais usado em estatística) e Python (pandas) — cole no seu RStudio / Jupyter e rode quando tiver os dados. Supondo um data frame chamado dados com colunas local e renda:
R (com dplyr e ggplot2):
\text{library(dplyr)}
\text{resumo <- dados \%>\%}
\quad \text{group_by(local) \%>\%}
\quad \text{summarise(}
\qquad n = n(),
\qquad media = mean(renda),
\qquad sd = sd(renda),
\qquad minimo = min(renda),
\qquad q1 = quantile(renda, 0{,}25, type = 7),
\qquad mediana = median(renda),
\qquad q3 = quantile(renda, 0{,}75, type = 7),
\qquad maximo = max(renda)
\quad )
\text{print(resumo)}
Boxplot com ggplot2:
\text{library(ggplot2)}
\text{ggplot(dados, aes(x = local, y = renda)) + geom_boxplot() + ylab("Renda") + xlab("Local")}
Python (pandas + seaborn/matplotlib):
\text{import pandas as pd}
\text{import seaborn as sns}
\text{resumo = dados.groupby("local")["renda"].agg(}
\quad n = "count",
\quad media = "mean",
\quad sd = "std",
\quad minimo = "min",
\quad q1 = lambda x: x.quantile(0.25),
\quad mediana = "median",
\quad q3 = lambda x: x.quantile(0.75),
\quad maximo = "max"
\text{).reset_index()}
\text{print(resumo)}
Boxplot:
\text{import matplotlib.pyplot as plt}
\text{sns.boxplot(data=dados, x="local", y="renda")}
\text{plt.ylabel("Renda"); plt.xlabel("Local"); plt.show()}
Observações sobre software:
  • Em R a função \text{quantile} tem 9 tipos; o default é type=7. Em provas, especifique se seu prof pediu outro tipo.
  • Em Python/pandas o método \text{quantile} faz interpolação por padrão (equivalente ao tipo 7 do R nas versões modernas).

Passo 5

Vou dar um exemplo numérico pequeno e calcular todos os resumos passo a passo (isso é para você treinar; NÃO é o seu dado real, apenas ilustração).
Dados hipotéticos:
  • Para local = A: rendas \{1000, 1200, 1500, 2000, 2500\}.
  • Para local = B: rendas \{800, 900, 900, 1100, 4000\}.
Cálculo para local = A:
  • Ordenado já: 1000,1200,1500,2000,2500.
  • n_A = 5.
  • \displaystyle \bar{x}_A=\frac{1000+1200+1500+2000+2500}{5}=\frac{8200}{5}=1640.
  • Calcule \sum x_i^2 = 1000^2+1200^2+1500^2+2000^2+2500^2 = 1{,}000{,}000 + 1{,}440{,}000 + 2{,}250{,}000 + 4{,}000{,}000 + 6{,}250{,}000 = 14{,}940{,}000.
  • \displaystyle s_A=\sqrt{\frac{\sum x_i^2 - n_A\bar{x}_A^2}{n_A-1}}=\sqrt{\frac{14{,}940{,}000 - 5\cdot 1640^2}{4}}.
    • 1640^2 = 2{,}689{,}600. Então 5\cdot1640^2 = 13{,}448{,}000.
    • Numerador: 14{,}940{,}000 - 13{,}448{,}000 = 1{,}492{,}000.
    • \displaystyle s_A=\sqrt{\frac{1{,}492{,}000}{4}}=\sqrt{373{,}000}\approx 611{,}57.
  • Mínimo =1000, máximo =2500.
  • Mediana = elemento central = 1500.
  • Metade inferior (exclui mediana): 1000,1200 Q_{1,A}=\frac{1000+1200}{2}=1100.
  • Metade superior: 2000,2500 Q_{3,A}=\frac{2000+2500}{2}=2250.
  • IQR =2250-1100=1150.
Cálculo para local = B:
  • Ordenado já: 800,900,900,1100,4000.
  • n_B=5.
  • \displaystyle \bar{x}_B=\frac{800+900+900+1100+4000}{5}=\frac{7700}{5}=1540.
  • \sum x_i^2 = 800^2+900^2+900^2+1100^2+4000^2 = 640{,}000 + 810{,}000 + 810{,}000 + 1{,}210{,}000 + 16{,}000{,}000 = 19{,}470{,}000.
  • 1540^2 = 2{,}371{,}600; 5\cdot1540^2 = 11{,}858{,}000.
  • Numerador: 19{,}470{,}000 - 11{,}858{,}000 = 7{,}612{,}000.
  • \displaystyle s_B=\sqrt{\frac{7{,}612{,}000}{4}}=\sqrt{1{,}903{,}000}\approx 1{,}379{,}49.
  • Mínimo =800, máximo =4000.
  • Mediana = 900 (elemento central).
  • Metade inferior: 800,900 Q_{1,B}=\frac{800+900}{2}=850.
  • Metade superior: 900,1100 Q_{3,B}=\frac{900+1100}{2}=1000.
  • IQR =1000-850=150.
Interpretação (sobre este exemplo hipotético):
  • Médias: \bar{x}_A=1640 e \bar{x}_B=1540 — médias próximas.
  • Desvios: s_A\approx611{,}6 e s_B\approx1379{,}5 — grupo B tem variabilidade muito maior, por causa do valor extremo 4000.
  • Boxplot esperável: caixa de A larga e centrada em mediana 1500; caixa de B estreita (IQR pequeno), mas haverá um grande outlier (4000) acima do bigode, e possivelmente assimetria à direita em B.
  • Conclusão exemplo: mesmo que as médias sejam similares, a distribuição de B é mais assimétrica e tem outliers que aumentam a variância; por isso, olhar somente a média pode dar ideia enganosa.

Passo 6

O que observar e como discutir os resultados (guia para a redação da discussão da sua prova):
  • Comparar medianas e médias entre os locais: mediana é mais robusta a outliers; se média e mediana divergem muito, dá sinal de assimetria / outliers.
  • Comparar IQRs: IQR grande → mais dispersão típica (diferenças entre casas do meio); IQR pequeno → rendas concentradas.
  • Verificar presença de outliers (pontos além dos bigodes): podem indicar casos especiais ou erro de digitação; se muitos outliers em um local, considerar investigação.
  • Comparar assimetria: se caixa deslocada para baixo/para cima em relação aos bigodes, sinal de assimetria negativa/positiva.
  • Interprete no contexto: por exemplo, se local = urbano/rural, diferenças podem refletir mercado de trabalho/ocupações. Cuidado: estatística descreve, mas não prova causa.
  • Exemplos de frases para usar na prova:
    • “O local X apresenta mediana maior que o local Y, indicando que a renda típica em X é maior.”
    • “Apesar de médias semelhantes, o local Y tem IQR menor e vários outliers, indicando maior heterogeneidade e existência de rendas muito altas.”
    • “A presença de outliers em Y eleva o desvio padrão; por isso, a mediana e o IQR são medidas mais apropriadas para comparar as distribuições.”

Passo 7

Dicas práticas rápidas para a prova:
  • Sempre verifique n_g por grupo antes de interpretar; quando n_g é pequeno, as medidas podem ser instáveis.
  • Se precisar calcular “à mão”, foque em mediana, Q_1, Q_3 e min/max primeiro (são mais rápidos); média e s dá para fazer com somas e somas de quadrados.
  • Se puder levar uma calculadora, preencha \sum x_i e \sum x_i^2 e use as fórmulas automáticas.
  • Se for entregar relatório, coloque a tabela formatada e logo abaixo o boxplot e 2–3 frases curtas com a interpretação.

Resposta

Não é possível elaborar a tabela numérica nem o boxplot porque os dados (as observações de \text{renda} e a coluna \text{local}) não foram fornecidos.

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