Elabore uma tabela com medidas resumo ( n, média, desvio padrão, mínimo, máximo e os quartis) para a variável ‘renda’ segundo o ‘local’. Elabore um boxplot da renda segundo o local. Discuta os resultados.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
Elaborar uma tabela com medidas-resumo (para cada nível de local: n, média, desvio padrão, mínimo, primeiro quartil, mediana, terceiro quartil e máximo) para a variável renda.
Elaborar um boxplot da variável renda estratificado por local e discutir os resultados.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Foi indicada a variável de interesse: renda.
Foi indicada a variável de agrupamento: local.
Informação que falta e que impede obter os resultados numéricos:
Não foram fornecidos os dados (o conjunto com as observações de renda e a etiqueta local). Como esses números não foram enviados, não é possível calcular a tabela nem desenhar o boxplot com valores reais.
Passo 2
O que eu posso fazer agora: ensinar passo a passo como calcular todas as medidas pedidas (manual e em software), mostrar código pronto (R e Python) que você pode rodar quando tiver os dados, e dar um exemplo numérico pequeno e comentado para você ver como interpretar os resultados e o boxplot. Assim, quando você tiver o arquivo/df na prova ou no computador, você aplica imediatamente.
Primeiro, definições e fórmulas (tudo explicado devagar):
Número de observações: para um grupo g, n_g é o número de observações de renda naquele grupo.
Média (aritmética) do grupo g:
\bar{x}_g=\frac{1}{n_g}\sum_{i=1}^{n_g} x_{i,g},
onde x_{i,g} é a i-ésima observação de renda no grupo g.
Desvio padrão amostral (estimador clássico, usa n_g-1 no denominador):
Explicação: o desvio padrão mede o espalhamento das rendas em torno da média; usamos n_g-1 para corrigir viés quando estimamos a variabilidade da população a partir de uma amostra.
Mínimo e máximo: \min(x_{i,g}) e \max(x_{i,g}).
Mediana (segundo quartil): valor que separa a metade inferior da metade superior. Procedimento:
Ordene os x_{i,g} em ordem crescente.
Se n_g é ímpar, a mediana é o elemento no posto (n_g+1)/2.
Se n_g é par, a mediana é a média dos dois elementos centrais.
Primeiro quartil Q_{1,g} e terceiro quartil Q_{3,g}:
Definição prática (método de divisão em duas metades): após ordenar, Q_1 é a mediana da metade inferior (exclui a mediana se n_g ímpar) e Q_3 é a mediana da metade superior. Observação: softwares podem usar métodos de interpolação diferentes (R usa por padrão o tipo 7 de quantile); para provas, esclareça qual definição aceitaram no curso, ou use o mesmo método que o professor pedir.
Boxplot (caixa e bigodes):
Caixa vai de Q_1 até Q_3; linha na caixa = mediana.
Comprimento da caixa = intervalo interquartílico IQR = Q_3-Q_1.
“Bigodes” normalmente se estendem até o maior/smaller valor dentro de [Q_1-1{,}5\cdot IQR,\, Q_3+1{,}5\cdot IQR]. Pontos fora disso são considerados outliers e plotados separadamente.
Passo 3
Como calcular passo a passo manualmente (fazer na prova sem computador):
Calcule s_g usando \displaystyle s_g=\sqrt{\frac{1}{n_g-1}\sum_{i=1}^{n_g}(x_{i,g}-\bar{x}_g)^2}. Dica prática: calcule somas \sum x_{i,g} e \sum x_{i,g}^2 e use a identidade \sum (x_{i,g}-\bar{x}_g)^2=\sum x_{i,g}^2 - n_g\bar{x}_g^2 para evitar subtrações muito pequenas.
Identifique \min e \max diretamente na lista ordenada.
Encontre Q_1, mediana, Q_3 conforme procedimento de mediana da metade inferior/superior.
Monte a tabela com colunas: local, n, média, s, mínimo, Q_1, mediana, Q_3, máximo.
Exemplo de cálculo manual da média e s (fórmulas expostas novamente):
Assim evita-se computar muitos (x_i-\bar{x})^2 individualmente se houver muitos dados.
Passo 4
Código pronto — R (o mais usado em estatística) e Python (pandas) — cole no seu RStudio / Jupyter e rode quando tiver os dados. Supondo um data frame chamado dados com colunas local e renda:
Médias: \bar{x}_A=1640 e \bar{x}_B=1540 — médias próximas.
Desvios: s_A\approx611{,}6 e s_B\approx1379{,}5 — grupo B tem variabilidade muito maior, por causa do valor extremo 4000.
Boxplot esperável: caixa de A larga e centrada em mediana 1500; caixa de B estreita (IQR pequeno), mas haverá um grande outlier (4000) acima do bigode, e possivelmente assimetria à direita em B.
Conclusão exemplo: mesmo que as médias sejam similares, a distribuição de B é mais assimétrica e tem outliers que aumentam a variância; por isso, olhar somente a média pode dar ideia enganosa.
Passo 6
O que observar e como discutir os resultados (guia para a redação da discussão da sua prova):
Comparar medianas e médias entre os locais: mediana é mais robusta a outliers; se média e mediana divergem muito, dá sinal de assimetria / outliers.
Comparar IQRs: IQR grande → mais dispersão típica (diferenças entre casas do meio); IQR pequeno → rendas concentradas.
Verificar presença de outliers (pontos além dos bigodes): podem indicar casos especiais ou erro de digitação; se muitos outliers em um local, considerar investigação.
Comparar assimetria: se caixa deslocada para baixo/para cima em relação aos bigodes, sinal de assimetria negativa/positiva.
Interprete no contexto: por exemplo, se local = urbano/rural, diferenças podem refletir mercado de trabalho/ocupações. Cuidado: estatística descreve, mas não prova causa.
Exemplos de frases para usar na prova:
“O local X apresenta mediana maior que o local Y, indicando que a renda típica em X é maior.”
“Apesar de médias semelhantes, o local Y tem IQR menor e vários outliers, indicando maior heterogeneidade e existência de rendas muito altas.”
“A presença de outliers em Y eleva o desvio padrão; por isso, a mediana e o IQR são medidas mais apropriadas para comparar as distribuições.”
Passo 7
Dicas práticas rápidas para a prova:
Sempre verifique n_g por grupo antes de interpretar; quando n_g é pequeno, as medidas podem ser instáveis.
Se precisar calcular “à mão”, foque em mediana, Q_1, Q_3 e min/max primeiro (são mais rápidos); média e s dá para fazer com somas e somas de quadrados.
Se puder levar uma calculadora, preencha \sum x_i e \sum x_i^2 e use as fórmulas automáticas.
Se for entregar relatório, coloque a tabela formatada e logo abaixo o boxplot e 2–3 frases curtas com a interpretação.
Resposta
Não é possível elaborar a tabela numérica nem o boxplot porque os dados (as observações de \text{renda} e a coluna \text{local}) não foram fornecidos.