Exercício 5:

Um sistema A B C trifásico a quatro condutores, 380 volts-eficazes de linha, alimenta uma carga em estrela, onde Z A N=10 ohms, \boldsymbol{Z} \boldsymbol{B} \boldsymbol{N}= 15ej30•e ZCN =10 \mathrm{e}-\mathrm{j} 30 ohms. Determinar: a) as correntes de linha; b) a corrente do neutro; c) as potências ativa, reativa e aparente da carga trifásica.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema trifásico a quatro condutores em ligação estrela não equilibrada, com tensão de linha igual a 380,V e impedâncias de fase \displaystyle Z_{AN}=10, \Omega, \displaystyle Z_{BN}=15e^{j30^\circ}, \Omega, \displaystyle Z_{CN}=10e^{-j30^\circ}, \Omega.
Precisamos encontrar:
a) as correntes de linha I_A,I_B,I_C;
b) a corrente do neutro I_N;
c) as potências ativa P, reativa Q e aparente S da carga trifásica.

Passo 2

Em ligação estrela, a tensão de fase vale
V_\varphi = \frac{V_{LL}}{\sqrt{3}} = \frac{380}{\sqrt{3}}\approx 219{,}4\text{ V}.
Tomamos as tensões de fase referidas ao neutro como \displaystyle V_{AN}=V_\varphi\angle 0^\circ, \displaystyle V_{BN}=V_\varphi\angle{-120^\circ}, \displaystyle V_{CN}=V_\varphi\angle{+120^\circ}.

Passo 3

Usamos \,I_k=V_{kN}/Z_{kN} para cada fase.
Para a fase A:
I_A=\frac{V_\varphi\angle0^\circ}{10} =21{,}94\angle0^\circ\text{ A}.
Para a fase B:
I_B=\frac{V_\varphi\angle{-120^\circ}}{15\angle30^\circ} =\frac{219{,}4}{15}\angle(-120^\circ-30^\circ) =14{,}63\angle{-150^\circ}\text{ A}.
Para a fase C:
I_C=\frac{V_\varphi\angle{+120^\circ}}{10\angle{-30^\circ}} =\frac{219{,}4}{10}\angle(120^\circ+30^\circ) =21{,}94\angle{150^\circ}\text{ A}.

Passo 4

A corrente do neutro é a soma algébrica das correntes de fase (com sinal trocado se quisermos o retorno ao gerador):
I_N=-(I_A+I_B+I_C).
Em forma retangular,
I_A=21{,}94+j0,\quad I_B=-12{,}67 - j7{,}31,\quad I_C=-19{,}01 + j10{,}97,
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I_A+I_B+I_C=-9{,}74 + j3{,}65 \quad\Longrightarrow\quad I_N=9{,}74 - j3{,}65\text{ A}
|I_N|=\sqrt{9{,}74^2+(-3{,}65)^2}\approx10{,}40\text{ A},\quad \angle I_N\approx -20{,}5^\circ.

Passo 5

Cada potência de fase é
S_k=V_{kN}\,I_k^*.
Para A ( \angle0^\circ e I_A real):
S_A=219{,}4\angle0^\circ\cdot21{,}94\angle0^\circ =4812\angle0^\circ\text{ VA} \;\bigl(P_A=4812\text{ W},\;Q_A=0\bigr).
Para B:
S_B=219{,}4\angle{-120^\circ}\cdot14{,}63\angle{+150^\circ} =3209\angle30^\circ\text{ VA} \;\bigl(P_B=3209\cos30^\circ=2780\text{ W},\;Q_B=3209\sin30^\circ=1605\text{ var}\bigr).
Para C:
S_C=219{,}4\angle{+120^\circ}\cdot21{,}94\angle{-150^\circ} =4812\angle{-30^\circ}\text{ VA} \;\bigl(P_C=4812\cos30^\circ=4165\text{ W},\;Q_C=-2406\text{ var}\bigr).
Somando:
P=P_A+P_B+P_C=4812+2780+4165\approx11757\text{ W},
Q=Q_A+Q_B+Q_C=0+1605-2406\approx-801\text{ var},
S=\sqrt{P^2+Q^2}\approx\sqrt{11757^2+(-801)^2}\approx11783\text{ VA}.

Resposta

a) I_A=21{,}94\angle0^\circ,A, I_B=14{,}63\angle{-150^\circ},A, I_C=21{,}94\angle{150^\circ},A.
b) I_N=10{,}40\angle{-20{,}5^\circ},A.
c) P\approx11{,}757,W, Q\approx-801,var, S\approx11{,}783,VA.

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