Exercício 9. Suponha o conjunto universo \mathcal{U}=\{p, q, r, s, t, u, v, w\} e os seguintes conjuntos
A=\{p, q, r, s\}, \quad B=\{r, t, v\}, \quad C=\{p, s, t, u\}
Determine:
(a) B \cap C
(b) A \cup C
(c) \bar{C}
(d) A \cap B \cap C
(e) B-C
(f) \overline{A \cup B}
(g) A \times B
(h) (A \cup B) \cap \bar{C}
Determine o Conjunto de Partes de todos os itens anteriores:
(a) \mathscr{P}(B \cap C)
(b) \mathscr{P}(A \cup C)
(c) \mathscr{P}(\bar{C})
(d) \mathscr{P}(A \cap B \cap C)
(e) \mathscr{P}(B-C)
(f) \mathscr{P}(\overline{A \cup B})
(g) \mathscr{P}(A \times B)
(h) \mathscr{P}((A \cup B) \cap \bar{C})

Passo 1

O enunciado dá o universo
\mathcal{U}=\{p,q,r,s,t,u,v,w\}
e os conjuntos
A=\{p,q,r,s\},\quad B=\{r,t,v\},\quad C=\{p,s,t,u\}.
Vamos usar as definições de união, interseção, complemento (em relação a \mathcal{U}), diferença e produto cartesiano. Depois disso, computamos os conjuntos de partes \mathscr{P}(\cdot), isto é, o conjunto de todos os subconjuntos de cada resultado.

Passo 2

Calcular as operações básicas:
(a) B\cap C.
Os elementos comuns a B e C são apenas t.
B\cap C=\{t\}.
(b) A\cup C.
A\cup C=\{p,q,r,s\}\cup\{p,s,t,u\}=\{p,q,r,s,t,u\}.
(c) \bar C.
\bar C=\mathcal{U}\setminus C=\{p,q,r,s,t,u,v,w\}\setminus\{p,s,t,u\}=\{q,r,v,w\}.

Passo 3

Continuar as operações:
(d) A\cap B\cap C.
A\cap B=\{p,q,r,s\}\cap\{r,t,v\}=\{r\},\quad \{r\}\cap C=\{r\}\cap\{p,s,t,u\}=\emptyset.
Logo
A\cap B\cap C=\emptyset.
(e) B - C.
B-C=\{r,t,v\}\setminus\{p,s,t,u\}=\{r,v\}.
(f) \overline{A\cup B}.
A\cup B=\{p,q,r,s\}\cup\{r,t,v\}=\{p,q,r,s,t,v\},
\overline{A\cup B}=\mathcal{U}\setminus\{p,q,r,s,t,v\}=\{u,w\}.

Passo 4

Produto cartesiano e outra interseção:
(g)
A\times B=\{\, (x,y)\mid x\in A,\;y\in B\}.
Como \lvert A\rvert=4 e \lvert B\rvert=3, temos 12 pares:
A\times B=\{(p,r),(p,t),(p,v),(q,r),(q,t),(q,v),(r,r),(r,t),(r,v),(s,r),(s,t),(s,v)\}.
(h) (A\cup B)\cap\bar C.
A\cup B=\{p,q,r,s,t,v\},\quad \bar C=\{q,r,v,w\},
(A\cup B)\cap\bar C=\{q,r,v\}.

Passo 5

Conjunto de partes dos resultados pequenos (até 3 elementos), listados explicitamente:
(a) B\cap C=\{t\}
\mathscr{P}(B\cap C)=\{\emptyset,\{t\}\}.
(d) A\cap B\cap C=\emptyset
\mathscr{P}(A\cap B\cap C)=\{\emptyset\}.
(e) B-C=\{r,v\}
\mathscr{P}(B-C)=\{\emptyset,\{r\},\{v\},\{r,v\}\}.
(f) \overline{A\cup B}=\{u,w\}
\mathscr{P}(\overline{A\cup B})=\{\emptyset,\{u\},\{w\},\{u,w\}\}.
(h) (A\cup B)\cap\bar C=\{q,r,v\}
\mathscr{P}((A\cup B)\cap\bar C)=\{\, \emptyset,\{q\},\{r\},\{v\},\{q,r\},\{q,v\},\{r,v\},\{q,r,v\}\}.

Passo 6

Conjunto de partes dos resultados médios (4 elementos):
(c) \bar C=\{q,r,v,w\}
\mathscr{P}(\bar C)=\{\,X\mid X\subseteq\{q,r,v,w\}\},
tamanho 2^4=16.

Passo 7

Conjunto de partes dos resultados maiores:
(b) A\cup C=\{p,q,r,s,t,u\}
\mathscr{P}(A\cup C)=\{\,X\mid X\subseteq\{p,q,r,s,t,u\}\},
tamanho 2^6=64.
(g) A\times B com 12 elementos
\mathscr{P}(A\times B)=\{\,X\mid X\subseteq A\times B\},
tamanho 2^{12}=4096.

Resposta

(a) B\cap C=\{t\}
(b) A\cup C=\{p,q,r,s,t,u\}
(c) \bar C=\{q,r,v,w\}
(d) A\cap B\cap C=\emptyset
(e) B-C=\{r,v\}
(f) \overline{A\cup B}=\{u,w\}
(g)
A\times B=\{(p,r),(p,t),(p,v),(q,r),(q,t),(q,v),(r,r),(r,t),(r,v),(s,r),(s,t),(s,v)\}
(h) (A\cup B)\cap\bar C=\{q,r,v\}
Depois, os conjuntos de partes:
(a) \mathscr{P}(B\cap C)=\{\emptyset,\{t\}\}
(b) \mathscr{P}(A\cup C)=\{\,X\mid X\subseteq\{p,q,r,s,t,u\}\}
(c) \mathscr{P}(\bar C)=\{\,X\mid X\subseteq\{q,r,v,w\}\}
(d) \mathscr{P}(A\cap B\cap C)=\{\emptyset\}
(e) \mathscr{P}(B-C)=\{\emptyset,\{r\},\{v\},\{r,v\}\}
(f) \mathscr{P}(\overline{A\cup B})=\{\emptyset,\{u\},\{w\},\{u,w\}\}
(g) \mathscr{P}(A\times B)=\{\,X\mid X\subseteq A\times B\}
(h) \mathscr{P}((A\cup B)\cap\bar C)=\{\emptyset,\{q\},\{r\},\{v\},\{q,r\},\{q,v\},\{r,v\},\{q,r,v\}\}.

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