• Exercício 1: A tensão terminal de uma carga ligada em estrela são três impedâncias iguais de 20\left\llcorner 30^{\circ} \Omega\right. e uma tensão de linha 4,4 \mathrm{kV}. A impedância de cada uma das linhas que conecta a carga à fonte é 1,4\left\llcorner 75^{\circ} \Omega\right.. Determine a tensão de linha na fonte, potência ativa e reativa monofásica e trifásica da fonte e o fator de potência da fonte. Determine as perdas na linha.

Passo 1

Resumindo, temos uma carga trifásica ligada em estrela cujas impedâncias de fase são
Z_{\text{carga}} = 20\!\angle30^\circ\\ \Omega
e a tensão de linha no lado da carga é
V_{LL,\text{carga}} = 4{,}4\text{ kV}.
Cada fase é alimentada por uma linha com impedância
Z_{\text{linha}} = 1{,}4\!\angle75^\circ\\ \Omega.
Queremos encontrar:
  1. A tensão de linha na fonte V_{LL,\text{fonte}}.
  2. A potência ativa e reativa monofásica e trifásica fornecidas pela fonte.
  3. O fator de potência da fonte.
  4. As perdas na linha.
Para resolver, vamos fazer a análise em um circuito equivalente por fase: calcular a tensão de fase na carga, a corrente, o desvio de tensão na linha e, finalmente, a tensão de fonte, potências e perdas.

Passo 2

Calcular a tensão de fase na carga e a corrente de fase.
A relação entre tensão de linha e tensão de fase em estrela é
V_{\varphi,\text{carga}} = \frac{V_{LL,\text{carga}}}{\sqrt{3}} = \frac{4{,}4\times10^3}{\sqrt{3}}\\ \angle0^\circ \approx 2540\\ \angle0^\circ\text{ V}.
A corrente de fase é dada por
I_{\varphi} = \frac{V_{\varphi,\text{carga}}}{Z_{\text{carga}}} = \frac{2540\\ \angle0^\circ}{20\\ \angle30^\circ} =127\\ \angle(-30^\circ)\text{ A}.

Passo 3

Determinar a queda de tensão na linha e a tensão de fase na fonte.
A queda de tensão na linha por fase é
\Delta V_{\varphi} = I_{\varphi}\,Z_{\text{linha}} =127\!\angle(-30^\circ)\times1{,}4\!\angle75^\circ =178\!\angle45^\circ\text{ V}.
A tensão de fase na fonte fica
V_{\varphi,\text{fonte}} =V_{\varphi,\text{carga}}+\Delta V_{\varphi} =2540\!\angle0^\circ + 178\!\angle45^\circ \approx2670\!\angle2{,}7^\circ\text{ V}.
Logo, a tensão de linha na fonte é
V_{LL,\text{fonte}} =\sqrt{3}\;V_{\varphi,\text{fonte}} \approx1{,}732\times2670\!\angle2{,}7^\circ \approx4625\!\angle2{,}7^\circ\text{ V} \approx4{,}63\text{ kV}\,\angle2{,}7^\circ.

Passo 4

Calcular potência monofásica e trifásica na fonte e fator de potência.
O complexo de potência por fase na fonte é
S_{\varphi} =V_{\varphi,\text{fonte}}\;I_{\varphi}^* =2670\!\angle2{,}7^\circ \times127\!\angle(+30^\circ) \approx339{,}0\!\angle32{,}7^\circ\text{ kVA}.
Dessa forma,
P_{\varphi}=339{,}0\cos32{,}7^\circ\approx285{,}0\text{ kW},\quad Q_{\varphi}=339{,}0\sin32{,}7^\circ\approx183{,}0\text{ kVAr}.
Para o sistema trifásico:
P_{3\varphi}=3\,P_{\varphi}\approx855{,}0\text{ kW},\quad Q_{3\varphi}=3\,Q_{\varphi}\approx549{,}0\text{ kVAr},\quad S_{3\varphi}=3\times339{,}0\approx1017{,}0\text{ kVA}.
O fator de potência da fonte é
\mathrm{pf} =\cos(\angle S_{\varphi}) =\cos32{,}7^\circ\approx0{,}84\\ (\text{atrasado}).

Passo 5

Calcular perdas na linha.
Da impedância da linha Z_{\text{linha}}=1{,}4\angle75^\circ\\ \Omega extraímos
R_{\text{linha}}=1{,}4\cos75^\circ\approx0{,}362\\ \Omega,\quad X_{\text{linha}}=1{,}4\sin75^\circ\approx1{,}352\\ \Omega.
Perdas ativas por fase:
P_{\text{loss},\varphi} =I_{\varphi}^2\,R_{\text{linha}} =127^2\times0{,}362 \approx5{,}85\text{ kW}.
Perdas reativas por fase:
Q_{\text{loss},\varphi} =I_{\varphi}^2\,X_{\text{linha}} =127^2\times1{,}352 \approx21{,}8\text{ kVAr}.
No total trifásico:
P_{\text{loss},3\varphi}=3\times5{,}85\approx17{,}55\text{ kW},\quad Q_{\text{loss},3\varphi}=3\times21{,}8\approx65{,}4\text{ kVAr}.

Resposta

A fonte deverá fornecer uma tensão de linha
\boxed{V_{LL,\text{fonte}} \approx 4{,}63\text{ kV}\,\angle2{,}7^\circ.}
Monofásico na fonte:
P_{\varphi}\approx285{,}0\text{ kW},\quad Q_{\varphi}\approx183{,}0\text{ kVAr},\quad S_{\varphi}\approx339{,}0\text{ kVA}.
Trifásico na fonte:
P_{3\varphi}\approx855{,}0\text{ kW},\quad Q_{3\varphi}\approx549{,}0\text{ kVAr},\quad S_{3\varphi}\approx1017{,}0\text{ kVA}.
Fator de potência da fonte:
\boxed{\mathrm{pf}\approx0{,}84\text{ atrasado}.}
Perdas na linha:
P_{\text{loss},3\varphi}\approx17{,}6\text{ kW},\quad Q_{\text{loss},3\varphi}\approx65{,}4\text{ kVAr}.

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