1. (3,5 pontos) Desenhe e projete/calcule um filtro rejeita faixas RLC onde a frequência de ressonância é de 12 KHz eo fator de qualidade é 5. A seguir, calcule a largura de faixa e os valores das frequências de corte.

Passo 1

O enunciado pede um filtro rejeita-faixa (notch) RLC com frequência de ressonância f_0=12\,\text{kHz} e fator de qualidade Q=5. Vamos usar um circuito série de R, L e C ligado em paralelo à linha de sinal: na ressonância a impedância desse ramo é mínima e o sinal é desviado à massa, criando o notch. Precisamos das fórmulas de
– frequência de ressonância: \displaystyle f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}},
– fator de qualidade: \displaystyle Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}},
– largura de banda: \displaystyle B=\frac{f_0}{Q},
e dos pontos de corte f_1 e f_2.

Passo 2

Escolhemos um valor prático para C, por exemplo
C = 100\,\text{nF}.
Usando \displaystyle f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}, isolamos L:
L = \frac{1}{(2\pi f_0)^2\,C} = \frac{1}{(2\pi\cdot12\times10^3)^2\cdot100\times10^{-9}} \approx 1{,}76\,\text{mH}.

Passo 3

Com L e C definidos, calculamos a resistência série R para obter Q=5. Da definição
Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} \quad\Longrightarrow\quad R = \frac{1}{Q}\sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{1}{5}\sqrt{\frac{1{,}76\times10^{-3}}{100\times10^{-9}}} \approx 26{,}5\,\Omega.

Passo 4

Agora a largura de banda do notch é
B = \frac{f_0}{Q} = \frac{12\,000}{5} = 2\,400\;\text{Hz}.
Assumindo simetria em torno de f_0, as frequências de corte de -3 dB aproximadas são
f_1 = f_0 - \frac{B}{2} = 12\,000 - 1\,200 = 10\,800\;\text{Hz},
f_2 = f_0 + \frac{B}{2} = 12\,000 + 1\,200 = 13\,200\;\text{Hz}.

Passo 5

Esquematicamente o filtro fica assim (a saída é tomada antes do ramo R–L–C):
Vin ──●──── Vout

└─[R]─[L]─[C]─ GND
Em f_0 esse ramo série apresenta baixa impedância e desvia o sinal à terra, atenuando em torno de 12 kHz.

Resposta

Componentes do RLC série:
R \approx 26{,}5\,\Omega,\quad L\approx1{,}76\,\text{mH},\quad C=100\,\text{nF}.
Largura de banda:
B=2{,}4\,\text{kHz}.
Frequências de corte aproximadas:
f_1=10{,}8\,\text{kHz},\quad f_2=13{,}2\,\text{kHz}.

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