Exercício 2.
« Para todo real x, existe um real y que é inferior ou igual a x. » Esta proposição é verdadeira, para todo real x , só temos que pegar o real \mathrm{x}-1, que verifique a proposição.

Passo 1

O enunciado é a proposição \forall x \in \mathbb{R},\\ \exists y \in \mathbb{R}\colon y \le x.
O conteúdo é lógica de predicados com quantificadores universal e existencial. Para provar uma afirmação da forma “ \forall x\,\exists y\colon P(x,y)” basta, dado um x genérico, exibir um y que faça P(x,y) verdadeira.

Passo 2

Escolhemos como testemunha a função
y = x - 1.
A ideia é subtrair uma constante positiva de x para garantir y menor que x.

Passo 3

Verificamos a condição:
y \le x \quad\Longleftrightarrow\quad x - 1 \le x.
Somando 1 em ambos os lados obtemos x \le x + 1, o que é sempre verdadeiro para todo x \in \mathbb{R}.

Passo 4

Como para cada x escolhemos um y (isto é, x-1) que satisfaz y \le x, concluímos que \forall x \in \mathbb{R},\\ \exists y \in \mathbb{R}\colon y \le x
é verdadeiro.

Resposta

A proposição é verdadeira. Basta, para cada x, tomar y = x - 1, pois x - 1 \le x.

Exercícios relacionados