Exercício 2.
«Todo real x é ou igual a -1, ou diferente de 4.» Esta proposição é evidentemente falsa, o real 4 é um contraexemplo desta proposição.

Passo 1

O enunciado apresenta a proposição “Todo real x é ou igual a -1, ou diferente de 4”. Em lógica de predicados, isso equivale a
\forall x \in \mathbb{R}\,\bigl(x = -1 \,\lor\, x \neq 4\bigr).
Para decidir se essa afirmação é verdadeira, precisamos entender como funciona um quantificador universal e a avaliação de uma disjunção.

Passo 2

Uma afirmação da forma
\forall x \in \mathbb{R}\,\varphi(x)
é falsa se, e somente se, existe pelo menos um valor x_0\in\mathbb{R} tal que \varphi(x_0) seja falsa. Aqui \varphi(x) é a disjunção
\varphi(x):\;x = -1 \,\lor\, x \neq 4.

Passo 3

Para que a disjunção x = -1 \,\lor\, x \neq 4 seja falsa, ambos os seus termos devem ser falsos simultaneamente:
  1. x = -1 é falso, e
  2. x \neq 4 é falso (ou seja, x = 4).
    Logo, a condição para falsificar \varphi(x) é
x \neq -1\quad\text{e}\quad x = 4.

Passo 4

Basta escolher x_0 = 4. Nesse caso:
4 = -1\quad\text{é falso},é
4 \neq 4\quad\text{é falso},é
portanto
4 = -1 \,\lor\, 4 \neq 4
é falso. Assim, \varphi(4) falha e temos um contraexemplo ao quantificador universal.

Resposta

A proposição é falsa. Um contraexemplo é x = 4, pois nesse caso ambos 4 = -1 e 4 \neq 4 são falsos, tornando a disjunção falsa e, assim, refutando o “para todo”.

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