Exercício 2:
O trecho AB é constituído por bipolos lineares ideais. Quando submetido a tensão v=220 cos (10 t+30 O) V, ele consome a potência P=1000 W, com o fator de potência raiz22 atrasado. Determinar:
A tensão em cada um dos bipolos e no capacitor C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um trecho AB que tem bipolos lineares ideais. A gente sabe que quando aplicamos uma tensão da forma $ v = 220 \cos(10t + 30^\circ) $ V, esse trecho consome uma potência de 1000 W, com um fator de potência de $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ atrasado. Nosso objetivo é descobrir qual é a tensão em cada um dos bipolos e no capacitor C.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fator de potência. O fator de potência é o cosseno do ângulo de fase entre a tensão e a corrente. Quando ele é $ \frac{\sqrt{2}}{2} $, isso significa que o ângulo de fase $ \phi $ é de 45 graus, já que $ \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Como o fator de potência é atrasado, isso indica que temos uma componente indutiva no circuito.

Passo 3

Agora, vamos calcular a corrente que está passando pelo circuito. A potência ativa $ P $ é dada por:
P
Primeiro, precisamos encontrar o valor eficaz da tensão ($ V_{rms} $). Para uma tensão senoidal $ V = V_m \cos(\omega t + \theta) $, o valor eficaz é:
P = Vrms cdot Irms cdot cos(phi)
Agora, rearranjando a fórmula da potência para encontrar a corrente eficaz ($ I_{rms} $):
Vrms

Passo 4

Com a corrente eficaz conhecida, podemos determinar a impedância total $ Z $ do circuito usando a relação:
Z
Sabemos que a impedância em um circuito com resistor e capacitor é:
Z = VrmsIrms = 155.569.1 approx 17.08 , Omega
Onde $ \omega = 10 $ rad/s (da tensão original).

Passo 5

Como temos um fator de potência atrasado, isso significa que a componente reativa é indutiva. Porém, como o exercício menciona um capacitor C, vamos considerar que os bipolos são resistência e capacitor em série. A reatância capacitiva é dada por:
XC = 1omega C
E a impedância total:
Z = raizR^2 + XC^2 = 17.08 , Omega
Mas precisamos de mais informações para separar $ R $ e $ X_C $. Vamos usar o fator de potência para isso.

Passo 6

Sabemos que:
cos(phi) = RZ
Então:
R = Z cdot cos(phi) = 17.08 cdot raiz22 approx 12.08 , Omega
Agora, podemos encontrar $ X_C $:
XC
Agora, calculamos a capacitância:
XC = raizZ^2 - R^2 = raiz17.08^2 - 12.08^2 approx 10 , Omega

Passo 7

Finalmente, vamos determinar a tensão em cada bipolo. A tensão no resistor ($ V_R $) é:
VR
E a tensão no capacitor ($ V_C $) é:
VR = Irms cdot R = 9.1 cdot 12.08 approx 109.7 , V

Resposta

A tensão no resistor é aproximadamente 109.7 V, a tensão no capacitor C é aproximadamente 91 V, e a tensão total aplicada no trecho AB é 220 V.

Exercícios relacionados