Exercício 2:
O trecho AB é constituído por bipolos lineares ideais. Quando submetido a tensão
, ele consome a potência
, com o fator de potência
atrasado. Determinar:
A tensão em cada um dos bipolos e no capacitor C.
O trecho AB é constituído por bipolos lineares ideais. Quando submetido a tensão
A tensão em cada um dos bipolos e no capacitor C.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um trecho AB que tem bipolos lineares ideais. A gente sabe que quando aplicamos uma tensão da forma $ v = 220 \cos(10t + 30^\circ) $ V, esse trecho consome uma potência de 1000 W, com um fator de potência de $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ atrasado. Nosso objetivo é descobrir qual é a tensão em cada um dos bipolos e no capacitor C.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é fator de potência. O fator de potência é o cosseno do ângulo de fase entre a tensão e a corrente. Quando ele é $ \frac{\sqrt{2}}{2} $, isso significa que o ângulo de fase $ \phi $ é de 45 graus, já que $ \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Como o fator de potência é atrasado, isso indica que temos uma componente indutiva no circuito.
Passo 3
Agora, vamos calcular a corrente que está passando pelo circuito. A potência ativa $ P $ é dada por:
Primeiro, precisamos encontrar o valor eficaz da tensão ($ V_{rms} $). Para uma tensão senoidal $ V = V_m \cos(\omega t + \theta) $, o valor eficaz é:
Agora, rearranjando a fórmula da potência para encontrar a corrente eficaz ($ I_{rms} $):
Passo 4
Com a corrente eficaz conhecida, podemos determinar a impedância total $ Z $ do circuito usando a relação:
Sabemos que a impedância em um circuito com resistor e capacitor é:
Onde $ \omega = 10 $ rad/s (da tensão original).
Passo 5
Como temos um fator de potência atrasado, isso significa que a componente reativa é indutiva. Porém, como o exercício menciona um capacitor C, vamos considerar que os bipolos são resistência e capacitor em série. A reatância capacitiva é dada por:
E a impedância total:
Mas precisamos de mais informações para separar $ R $ e $ X_C $. Vamos usar o fator de potência para isso.
Passo 6
Sabemos que:
Então:
Agora, podemos encontrar $ X_C $:
Agora, calculamos a capacitância:
Passo 7
Finalmente, vamos determinar a tensão em cada bipolo. A tensão no resistor ($ V_R $) é:
E a tensão no capacitor ($ V_C $) é:
Resposta
A tensão no resistor é aproximadamente 109.7 V, a tensão no capacitor C é aproximadamente 91 V, e a tensão total aplicada no trecho AB é 220 V.