Questão 05 - Acima de 882^{\circ} \mathrm{C}, o titânio tem estrutura cristalina CCC, com a =0,332 \mathrm{~nm}. Abaixo desta temperatura, ele se organiza numa estrutura HC, com a =0,2978 \mathrm{~nm} \mathrm{ec}= 0,4735. Determine a variação percentual de volume quando o titânio CCC se transforma em titânio HC. Ocorre retração ou expansão?
\left.\Delta V=\left(V_{H C}-V_{C C C}\right) / V_{C C C}\right) * 100

Passo 1

O enunciado pede a variação percentual do volume quando o titânio passa da estrutura cúbica de corpo centrado (CCC) para a estrutura hexagonal compacta (HC), usando a fórmula
\Delta V = \frac{V_{HC}-V_{CCC}}{V_{CCC}}\times 100.
Dados fornecidos:
  • Para CCC (cúbica de corpo centrado): \,a_{CCC}=0,332\\ \mathrm{nm}.
  • Para HC (hexagonal compacta): \,a_{HC}=0,2978\\ \mathrm{nm} e \,c=0,4735\\ \mathrm{nm}.
O que devemos entregar: o valor de \Delta V em porcentagem e dizer se ocorre retração ou expansão.

Passo 2

Escolher a grandeza correta a comparar: como a transformação troca a rede cristalina mas mantém o mesmo material (mesmo número de átomos), devemos comparar o volume por átomo em cada estrutura. Para isso usamos:
  • Volume da célula unitária CCC (cúbica): \,V_{cell}^{CCC}=a_{CCC}^{3}. Cada célula cúbica BCC/CCC contém 2 átomos, logo o volume por átomo é
V_{átomo}^{CCC}=\frac{V_{cell}^{CCC}}{2}.á
  • Volume da célula unitária HC (hexagonal): a célula hexagonal convencional é um prisma cuja área da base hexagonal é \,A=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a_{HC}^{2} e altura \,c. Logo
V_{cell}^{HC}= \frac{3\sqrt{3}}{2}\,a_{HC}^{2}\,c.
Cada célula hexagonal convencional contém 6 átomos, então o volume por átomo é
V_{átomo}^{HC}=\frac{V_{cell}^{HC}}{6}.á
Usaremos esses V_{átomo}á na fórmula de variação percentual.

Passo 3

Calcular o volume da célula CCC e o volume por átomo CCC.
V_{cell}^{CCC}=a_{CCC}^{3}=\left(0,332\\ \mathrm{nm}\right)^{3}.
Cálculo numérico:
\left(0,332\right)^{2}=0,110224,\qquad \left(0,332\right)^{3}=0,036594368\\ \mathrm{nm^{3}}.
Então
V_{átomo}^{CCC}=\frac{V_{cell}^{CCC}}{2}=\frac{0,036594368}{2}=0,018297184\\ \mathrm{nm^{3}}.á

Passo 4

Calcular o volume da célula HC e o volume por átomo HC passo a passo.
Primeiro a potência:
a_{HC}^{2}=\left(0,2978\right)^{2}=0,08868484\\ \mathrm{nm^{2}}.
Fator da base hexagonal:
\frac{3\sqrt{3}}{2}\approx 2,598076211.
Área da base:
A=\frac{3\sqrt{3}}{2}\,a_{HC}^{2}\approx 2,598076211\times 0,08868484=0,230409955\\ \mathrm{nm^{2}}.
Volume da célula:
V_{cell}^{HC}=A\cdot c \approx 0,230409955\times 0,4735=0,109099114\\ \mathrm{nm^{3}}.
Volume por átomo (cada célula HC tem 6 átomos):
V_{átomo}^{HC}=\frac{V_{cell}^{HC}}{6}=\frac{0,109099114}{6}=0,0181831857\\ \mathrm{nm^{3}}.á

Passo 5

Calcular a variação percentual usando os volumes por átomo encontrados.
Diferença absoluta por átomo:
\Delta V_{átomo}=V_{átomo}^{HC}-V_{átomo}^{CCC}=0,0181831857-0,018297184=-0,0001139983\\ \mathrm{nm^{3}}.ááá
Variação percentual:
\Delta V=\frac{V_{átomo}^{HC}-V_{átomo}^{CCC}}{V_{átomo}^{CCC}}\times 100 =\frac{-0,0001139983}{0,018297184}\times 100\approx -0,6229\%.ááá
O sinal negativo indica que o volume diminui: ocorre retração.

Resposta

-0,623\% (retração)

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