Logo a interseção dá r=0 (o eixo) ou r=\cos\theta.
Como por definição r\ge 0, precisamos de \cos\theta \ge 0 para que r=\cos\theta seja admissível. Portanto o ângulo \theta varia no intervalo
-\tfrac{\pi}{2}\le \theta \le \tfrac{\pi}{2}.
Assim, a projeção da região no plano xy (coord. polares (r,\theta)) é o conjunto
0 \le r \le \cos\theta,\qquad -\tfrac{\pi}{2}\le \theta \le \tfrac{\pi}{2}.
Passo 3
Montando a integral de volume: o volume pode ser escrito como a integral dupla da altura (topo menos base) sobre a região projetada D no plano xy:
V = \iint_{D} \big(z_{\text{top}} - z_{\text{bottom}}\big)\,dA.
Na nossa situação:
z_{\text{top}} = plano = r\cos\theta.
z_{\text{bottom}} = paraboloide = r^{2}.
dA = r\,dr\,d\theta.
Portanto a integral em coordenadas cilíndricas fica
V = \int_{\theta=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{r=0}^{\cos\theta} \big(r\cos\theta - r^{2}\big)\; r\,dr\,d\theta.
Explicando o integrando: a diferença r\cos\theta - r^{2} é a altura em função de r,\theta; multiplicando por r temos o elemento de área em coordenadas polares.
Integrando term a term no intervalo simétrico \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]:
As integrais de \cos 2\theta e \cos 4\theta sobre um intervalo simétrico centrado na origem são zero (são funções pares cujo primitivo em extremos dá cancelamento, ou calcular explicitamente e ver que \sin(2\theta) e \sin(4\theta) valem zero nos limites).
A integral do termo constante \tfrac{3}{8} é simplesmente \tfrac{3}{8} vezes o comprimento do intervalo, que é \pi.