Exercício 2. Use coordenadas cilíndricas para calcular:
O volume do sólido limitado por o paraboloide z=x^{2}+y^{2} eo plano z=x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas superfícies dadas. Vou listar claramente o que o problema fornece e o que pede.
  • Superfícies conhecidas (dados do enunciado):
    • Paraboloide: z=x^{2}+y^{2}.
    • Plano: z=x.
  • Pedido:
    • Calcular o volume do sólido que fica entre essas duas superfícies (a região onde uma superfície é a “base” e a outra o “topo”, fechando um sólido).
Essas são todas as informações necessárias. A próxima etapa é decidir como descrever a região e montar a integral para o volume.

Passo 2

Por que usar coordenadas cilíndricas? Explicação didática curta:
  • Coordenadas cilíndricas são ótimas quando as superfícies dependem de x^{2}+y^{2} (como o paraboloide), porque x^{2}+y^{2} se torna simplesmente r^{2}.
  • A mudança é: x = r\cos\theta, y = r\sin\theta, z = z.
  • Jacobiano (fator de escala) dessa mudança para a área no plano xy é r. Isso significa que um elemento de área dA vira r\,dr\,d\theta.
Vou reescrever as duas superfícies em coordenadas cilíndricas:
  • Paraboloide: z = x^{2}+y^{2} \Rightarrow z = r^{2}.
  • Plano: z = x \Rightarrow z = r\cos\theta.
A interseção entre as superfícies satisfaz r^{2} = r\cos\theta. Resolvendo:
r^{2} = r\cos\theta \quad\Rightarrow\quad r(r-\cos\theta)=0.
Logo a interseção dá r=0 (o eixo) ou r=\cos\theta.
Como por definição r\ge 0, precisamos de \cos\theta \ge 0 para que r=\cos\theta seja admissível. Portanto o ângulo \theta varia no intervalo
-\tfrac{\pi}{2}\le \theta \le \tfrac{\pi}{2}.
Assim, a projeção da região no plano xy (coord. polares (r,\theta)) é o conjunto
0 \le r \le \cos\theta,\qquad -\tfrac{\pi}{2}\le \theta \le \tfrac{\pi}{2}.

Passo 3

Montando a integral de volume: o volume pode ser escrito como a integral dupla da altura (topo menos base) sobre a região projetada D no plano xy:
V = \iint_{D} \big(z_{\text{top}} - z_{\text{bottom}}\big)\,dA.
Na nossa situação:
  • z_{\text{top}} = plano = r\cos\theta.
  • z_{\text{bottom}} = paraboloide = r^{2}.
  • dA = r\,dr\,d\theta.
Portanto a integral em coordenadas cilíndricas fica
V = \int_{\theta=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{r=0}^{\cos\theta} \big(r\cos\theta - r^{2}\big)\; r\,dr\,d\theta.
Explicando o integrando: a diferença r\cos\theta - r^{2} é a altura em função de r,\theta; multiplicando por r temos o elemento de área em coordenadas polares.
Simplificando o integrando:
\big(r\cos\theta - r^{2}\big)\,r = r^{2}\cos\theta - r^{3}.

Passo 4

Calcular a integral interna (em r) passo a passo:
\int_{0}^{\cos\theta} \big(r^{2}\cos\theta - r^{3}\big)\,dr = \cos\theta\int_{0}^{\cos\theta} r^{2}\,dr - \int_{0}^{\cos\theta} r^{3}\,dr.
Agora integrar as potências de r:
\int_{0}^{\cos\theta} r^{2}\,dr = \left.\frac{r^{3}}{3}\right|_{0}^{\cos\theta} = \frac{\cos^{3}\theta}{3},
\int_{0}^{\cos\theta} r^{3}\,dr = \left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{\cos\theta} = \frac{\cos^{4}\theta}{4}.
Substituindo:
\int_{0}^{\cos\theta} \big(r^{2}\cos\theta - r^{3}\big)\,dr = \cos\theta\cdot\frac{\cos^{3}\theta}{3} - \frac{\cos^{4}\theta}{4} = \cos^{4}\theta\!\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right).
Calcule a diferença:
\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{4-3}{12}=\frac{1}{12}.
Logo a integral em r resulta em
\frac{\cos^{4}\theta}{12}.

Passo 5

Agora integraremos em \theta:
V = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^{4}\theta}{12}\,d\theta = \frac{1}{12}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{4}\theta\,d\theta.
Para calcular \int \cos^{4}\theta\,d\theta uso a identidade de redução:
\cos^{4}\theta = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos 2\theta + \frac{1}{8}\cos 4\theta.
Integrando term a term no intervalo simétrico \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]:
  • As integrais de \cos 2\theta e \cos 4\theta sobre um intervalo simétrico centrado na origem são zero (são funções pares cujo primitivo em extremos dá cancelamento, ou calcular explicitamente e ver que \sin(2\theta) e \sin(4\theta) valem zero nos limites).
  • A integral do termo constante \tfrac{3}{8} é simplesmente \tfrac{3}{8} vezes o comprimento do intervalo, que é \pi.
Portanto
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{4}\theta\,d\theta = \frac{3}{8}\cdot \pi = \frac{3\pi}{8}.
Voltando ao volume:
V = \frac{1}{12}\cdot \frac{3\pi}{8} = \frac{3\pi}{96}.

Passo 6

Simplificando a fração \dfrac{3\pi}{96}:
\frac{3\pi}{96} = \frac{\pi}{32}.
Assim chegamos ao valor final do volume do sólido.

Resposta

\dfrac{\pi}{32}

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