Exercício 1. Avaliar as seguintes integrais: \iiint_{T} y^{2} d V, onde T=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1-x^{2}, 0 \leq\right.\\ z \leq \sqrt{1-y}\}.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
O enunciado dá a integral tripla \iiint_{T} y^{2}\,dV sobre a região T definida porT=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 0\le x\le1,\;0\le y\le 1-x^{2},\;0\le z\le \sqrt{1-y}\}.
Pergunta-se o valor numérico da integral \iiint_{T} y^{2}\,dV.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Os limites para x são \;0\le x\le1.
Para cada x fixo, y varia entre \;0 e \;1-x^{2} (peguei estes limites do enunciado).
Para cada x,y fixos, z varia entre \;0 e \;\sqrt{1-y} (peguei este limite do enunciado).
A função a integrar é y^{2}, que não depende de z nem de x.
Passo 2
Montar a integral iterada na ordem natural indicada pelos limites do enunciado (z interno, y intermediário, x externo). Pelo Teorema de Fubini, como a função y^{2} é contínua na região limitada por essas curvas, a integral tripla pode ser calculada como iterada:
Explicação didática: isso significa que primeiro integramos em relação a z mantendo x,y fixos; depois integramos o resultado em relação a y (ainda com x fixo); por fim integramos em x. Essa ordem é conveniente porque os limites foram dados exatamente nessa ordem e a função é simples em z.
Passo 3
Integrar em z primeiro. Como y^{2} é constante em relação a z,
Interpretação final e checagem rápida: cálculo foi feito seguindo a ordem natural dos limites; cada integração foi aplicada por regra de potência e por substituição simples u=1-y. O resultado final é uma fração simples \dfrac{1}{12}, que faz sentido como número positivo pequeno (a região é limitada e a função y^{2} é pequena no intervalo dado).