Exercício 1. Avaliar as seguintes integrais:
\iiint_{T} y^{2} d V, onde T=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1-x^{2}, 0 \leq\right.\\ z \leq \sqrt{1-y}\}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • O enunciado dá a integral tripla \iiint_{T} y^{2}\,dV sobre a região T definida por T=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 0\le x\le1,\;0\le y\le 1-x^{2},\;0\le z\le \sqrt{1-y}\}.
  • Pergunta-se o valor numérico da integral \iiint_{T} y^{2}\,dV.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os limites para x são \;0\le x\le1.
  • Para cada x fixo, y varia entre \;0 e \;1-x^{2} (peguei estes limites do enunciado).
  • Para cada x,y fixos, z varia entre \;0 e \;\sqrt{1-y} (peguei este limite do enunciado).
  • A função a integrar é y^{2}, que não depende de z nem de x.

Passo 2

Montar a integral iterada na ordem natural indicada pelos limites do enunciado ( z interno, y intermediário, x externo). Pelo Teorema de Fubini, como a função y^{2} é contínua na região limitada por essas curvas, a integral tripla pode ser calculada como iterada:
\iiint_{T} y^{2}\,dV = \int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x^{2}}\int_{z=0}^{\sqrt{1-y}} y^{2}\,dz\,dy\,dx.
Explicação didática: isso significa que primeiro integramos em relação a z mantendo x,y fixos; depois integramos o resultado em relação a y (ainda com x fixo); por fim integramos em x. Essa ordem é conveniente porque os limites foram dados exatamente nessa ordem e a função é simples em z.

Passo 3

Integrar em z primeiro. Como y^{2} é constante em relação a z,
\int_{z=0}^{\sqrt{1-y}} y^{2}\,dz = y^{2}\left[z\right]_{0}^{\sqrt{1-y}} = y^{2}\sqrt{1-y}.
A ideia usada: \int a\,dz = a z se a não depende de z. Aqui a=y^{2}.
Portanto a integral reduz-se a
\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x^{2}} y^{2}\sqrt{1-y}\,dy\,dx.

Passo 4

Calcular a integral interna em y:
I(x)=\int_{0}^{1-x^{2}} y^{2}\sqrt{1-y}\,dy.
Fazer a substituição clássica para retirar a raíz: tome u=1-y. Então du=-dy e y=1-u. Ajustando os limites:
  • quando y=0, u=1;
  • quando y=1-x^{2}, u=x^{2}.
Além disso,
y^{2}\sqrt{1-y} = (1-u)^{2}u^{1/2}.
Com dy=-du a integral fica (invertendo os limites para eliminar o sinal negativo):
I(x)=\int_{u=x^{2}}^{1} (1-u)^{2} u^{1/2}\,du.
Explicar: a substituição u=1-y é útil porque transforma \sqrt{1-y} em u^{1/2} e o intervalo de integração fica em potências simples de u.

Passo 5

Expandir o integrando e integrar em u:
(1-u)^{2}u^{1/2}=u^{1/2}-2u^{3/2}+u^{5/2}.
Agora integrar termo a termo:
\int u^{1/2}\,du=\frac{2}{3}u^{3/2},\qquad \int u^{3/2}\,du=\frac{2}{5}u^{5/2},\qquad \int u^{5/2}\,du=\frac{2}{7}u^{7/2}.
Assim
I(x)=\left[\frac{2}{3}u^{3/2}-2\cdot\frac{2}{5}u^{5/2}+\frac{2}{7}u^{7/2}\right]_{u=x^{2}}^{1}.
Simplificar os coeficientes:
I(x)=\left(\frac{2}{3}u^{3/2}-\frac{4}{5}u^{5/2}+\frac{2}{7}u^{7/2}\right)\Bigg|_{u=x^{2}}^{1}.

Passo 6

Avaliar em u=1 e u=x^{2}.
Em u=1:
\frac{2}{3}-\frac{4}{5}+\frac{2}{7}=\frac{16}{105}.
(Detalhe da soma: comum denominador 105: 2/3=70/105,\\\ -4/5=-84/105,\\\ 2/7=30/105; soma 70-84+30=16.)
Em u=x^{2} observe que u^{3/2}=(x^{2})^{3/2}=x^{3}, u^{5/2}=x^{5}, u^{7/2}=x^{7}. Logo a avaliação em u=x^{2} é
\frac{2}{3}x^{3}-\frac{4}{5}x^{5}+\frac{2}{7}x^{7}.
Portanto
I(x)=\frac{16}{105}-\left(\frac{2}{3}x^{3}-\frac{4}{5}x^{5}+\frac{2}{7}x^{7}\right).
Assim a integral total passa a ser
\int_{0}^{1}\left(\frac{16}{105}-\frac{2}{3}x^{3}+\frac{4}{5}x^{5}-\frac{2}{7}x^{7}\right)dx.

Passo 7

Integrar em x termo a termo usando a regra de potência \int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}.
  • \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{16}{105}\,dx=\frac{16}{105}x\Big|_{0}^{1}=\frac{16}{105}.
  • \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{2}{3}x^{3}\,dx=\frac{2}{3}\cdot\frac{x^{4}}{4}\Big|_{0}^{1}=\frac{1}{6}.
  • \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{4}{5}x^{5}\,dx=\frac{4}{5}\cdot\frac{x^{6}}{6}\Big|_{0}^{1}=\frac{2}{15}.
  • \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{2}{7}x^{7}\,dx=\frac{2}{7}\cdot\frac{x^{8}}{8}\Big|_{0}^{1}=\frac{1}{28}.
Juntando com os sinais:
\iiint_{T} y^{2}\,dV = \frac{16}{105}-\frac{1}{6}+\frac{2}{15}-\frac{1}{28}.
Agora somar essas frações. Usar denominador comum 420 (múltiplo comum):
\frac{16}{105}=\frac{64}{420},\quad \frac{1}{6}=\frac{70}{420},\quad \frac{2}{15}=\frac{56}{420},\quad \frac{1}{28}=\frac{15}{420}.
Então
\frac{64}{420}-\frac{70}{420}+\frac{56}{420}-\frac{15}{420}=\frac{64-70+56-15}{420}=\frac{35}{420}=\frac{1}{12}.

Passo 8

Interpretação final e checagem rápida: cálculo foi feito seguindo a ordem natural dos limites; cada integração foi aplicada por regra de potência e por substituição simples u=1-y. O resultado final é uma fração simples \dfrac{1}{12}, que faz sentido como número positivo pequeno (a região é limitada e a função y^{2} é pequena no intervalo dado).

Resposta

\dfrac{1}{12}

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