Exercício 7. Verifique que os campos vetoriais abaixo são gradientes.
\vec{F}(x, y, z)=\left(4 x^{3} y^{3} z^{2}, 3 x^{4} y^{2} z^{2}, 2 x^{4} y^{3} z\right).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o campo vetorial \vec F(x,y,z) = \bigl(4x^3y^3z^2,\;3x^4y^2z^2,\;2x^4y^3z\bigr)
é um gradiente, ou seja, existe uma função escalar f(x,y,z) tal que \nabla f = \vec F. Vamos usar o critério de campo conservativo (curl nulo em domínio simplesmente-conexo) e depois encontrar f por integração.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais mistas para verificar \nabla\times\vec F=0: \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(4x^3y^3z^2) =12x^3y^2z^2, \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(3x^4y^2z^2) =12x^3y^2z^2. \displaystyle \frac{\partial P}{\partial z} =8x^3y^3z, \displaystyle \frac{\partial R}{\partial x} =8x^3y^3z. \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial z} =6x^4y^2z, \displaystyle \frac{\partial R}{\partial y} =6x^4y^2z.
Como todas coincidem, \nabla\times\vec F=0 em \mathbb R^3, logo o campo é conservativo.

Passo 3

Para achar f, integramos a primeira componente em x:
f(x,y,z)=\int 4x^3y^3z^2\,dx = x^4y^3z^2 + g(y,z).
Como deve valer \partial f/\partial y=Q, temos \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(x^4y^3z^2+g)=3x^4y^2z^2 + \frac{\partial g}{\partial y}=3x^4y^2z^2,
logo \partial g/\partial y=0 e g=g(z). Em seguida, de \partial f/\partial z=R
vem \displaystyle \frac{\partial}{\partial z}(x^4y^3z^2+g)=2x^4y^3z + g'(z)=2x^4y^3z,
portanto g'(z)=0 e g é constante.

Resposta

Uma potencial é
f(x,y,z)=x^4y^3z^2 + C,
pois \nabla f=\vec F.

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