Exercício 7. Verifique que os campos vetoriais abaixo são gradientes.
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o campo vetorial
é um gradiente, ou seja, existe uma função escalar tal que
. Vamos usar o critério de campo conservativo (curl nulo em domínio simplesmente-conexo) e depois encontrar
por integração.
é um gradiente, ou seja, existe uma função escalar
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais mistas para verificar
:
,
.
,
.
,
.
Como todas coincidem, em
, logo o campo é conservativo.
Como todas coincidem,
Passo 3
Para achar
, integramos a primeira componente em
:
Como deve valer
, temos
,
logo e
. Em seguida, de
vem ,
portanto e
é constante.
logo
vem
portanto
Resposta
Uma potencial é
pois
.