Exercício 7. Verifique que os campos vetoriais abaixo são gradientes.
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o campo
é um campo gradiente, ou seja, existe uma função escalar tal que
. Para isso vamos usar a condição de igualdade das derivadas parciais mistas
e, em seguida, encontrar explicitamente .
é um campo gradiente, ou seja, existe uma função escalar
e, em seguida, encontrar explicitamente
Passo 2
Denotando
verificamos as derivadas mistas:
Como
em todo
, o campo é conservativo.
Passo 3
Para achar o potencial escalar
, integramos
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 4
Impondo
, temos
Logo,
é constante.
Resposta
O campo
é gradiente e um potencial escalar é
com
constante arbitrária.