Exercício 7. Verifique que os campos vetoriais abaixo são gradientes.
\vec{F}(x, y)=\left(2 x y^{2}+2 y, 2 x^{2} y+2 x\right).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o campo \vec{F}(x,y)=\bigl(2 x y^{2}+2 y,\;2 x^{2}y+2 x\bigr)
é um campo gradiente, ou seja, existe uma função escalar f(x,y) tal que \nabla f=\vec{F}. Para isso vamos usar a condição de igualdade das derivadas parciais mistas
e, em seguida, encontrar explicitamente f.

Passo 2

Denotando
P(x,y)=2x y^{2}+2y, \quad Q(x,y)=2x^{2}y+2x,
verificamos as derivadas mistas:
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x y^{2}+2y\bigr) =4xy+2,
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{2}y+2x\bigr) =4xy+2.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x em todo \mathbb{R}^{2}, o campo é conservativo.

Passo 3

Para achar o potencial escalar f, integramos P=\partial f/\partial x em relação a x:
f(x,y) =\int \bigl(2x y^{2}+2y\bigr)\,dx = x^{2}y^{2}+2xy + C(y),
onde C(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 4

Impondo \partial f/\partial y = Q, temos
\frac{\partial f}{\partial y} =2x^{2}y+2x + C'(y) \stackrel{!}{=}2x^{2}y+2x \quad\Longrightarrow\quad C'(y)=0.
Logo, C(y) é constante.

Resposta

O campo \vec{F} é gradiente e um potencial escalar é
f(x,y)=x^{2}y^{2}+2xy + C,
com C constante arbitrária.

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