Exercício 7. Verifique que os campos vetoriais abaixo são gradientes.
\vec{F}(x, y)=\left(y e^{x y}+2 x, x^{x y}-2 y\right).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o campo vetorial \vec F(x,y) = \bigl(y\,e^{xy}+2x,\;x\,e^{xy}-2y\bigr)
é conservativo (isto é, um campo gradiente) e, em seguida, encontrar uma função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\vec F.

Passo 2

Para um campo de classe C^1 num domínio simplesmente conexo (aqui \mathbb R^2), basta verificar a condição de integrabilidade
\frac{\partial F_1}{\partial y} \;=\;\frac{\partial F_2}{\partial x}.
Calculando
\frac{\partial F_1}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\,e^{xy}+2x\bigr) =e^{xy}+xy\,e^{xy},
\frac{\partial F_2}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,e^{xy}-2y\bigr) =e^{xy}+xy\,e^{xy}.
Como são iguais, \vec F é conservativo.

Passo 3

Agora encontramos a potencial \varphi integrando F_1 em relação a x:
\varphi(x,y) =\int \bigl(y\,e^{xy}+2x\bigr)\,dx =\int y\,e^{xy}\,dx+\int 2x\,dx =e^{xy}+x^2+g(y),
onde g(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 4

Para determinar g(y), calculamos
\frac{\partial\varphi}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{xy}+x^2+g(y)\bigr) =x\,e^{xy}+g'(y)
e igualamos a F_2:
x\,e^{xy}+g'(y)=x\,e^{xy}-2y \quad\Longrightarrow\quad g'(y)=-2y \quad\Longrightarrow\quad g(y)=-y^2+C.

Passo 5

Logo a função potencial é
\varphi(x,y)=e^{xy}+x^2-y^2+C,
com C constante arbitrária. Verificamos então que \nabla\varphi=(\phi_x,\phi_y)=(y\,e^{xy}+2x,\;x\,e^{xy}-2y)=\vec F.

Resposta

A função potencial é
\varphi(x,y)=e^{xy}+x^2-y^2+C,
portanto \vec F é de fato um campo gradiente.

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