Exercício 7. Verifique que os campos vetoriais abaixo são gradientes.
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o campo vetorial
é conservativo (isto é, um campo gradiente) e, em seguida, encontrar uma função potencial tal que
.
é conservativo (isto é, um campo gradiente) e, em seguida, encontrar uma função potencial
Passo 2
Para um campo de classe
num domínio simplesmente conexo (aqui
), basta verificar a condição de integrabilidade
Calculando
Como são iguais,
é conservativo.
Passo 3
Agora encontramos a potencial
integrando
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender só de
.
Passo 4
Para determinar
, calculamos
e igualamos a
:
Passo 5
Logo a função potencial é
com
constante arbitrária. Verificamos então que
.
Resposta
A função potencial é
portanto
é de fato um campo gradiente.