Exercício 5. Calcule a integral de linha do campo pelo caminho especificado.
\vec{F}(x, y, z)=\left(x^{2}, x y, z^{2}\right) sobre a curva \gamma(t)=\left(\cos t, \operatorname{sen} t, t^{2}\right), 0 \leq t \leq \pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha do campo \vec{F}(x,y,z)=(x^2,xy,z^2) ao longo da curva parametrizada por
\gamma(t)=(\cos t,\sin t,t^2), \quad 0\le t\le\frac{\pi}{2}.
O conteúdo envolvido é integral de linha de campo vetorial: usamos a parametrização, calculamos \gamma'(t), avaliamos \vec{F} em \gamma(t) e integramos o produto escalar \vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t).

Passo 2

Calculamos a derivada da parametrização:
\gamma'(t)=\frac{d}{dt}(\cos t,\sin t,t^2) =(-\sin t,\cos t,2t).

Passo 3

Avaliamos o campo em \gamma(t):
\vec{F}(\gamma(t)) =\bigl((\cos t)^2,\cos t\sin t,(t^2)^2\bigr) =(\cos^2 t,\;\cos t\,\sin t,\;t^4).

Passo 4

Formamos o produto escalar
\vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t) =\cos^2 t\cdot(-\sin t) +\cos t\,\sin t\cdot\cos t +t^4\cdot2t.
As duas primeiras parcelas se cancelam:
-\cos^2 t\sin t+\cos^2 t\sin t=0,
ficando o integrando
2t^5.

Passo 5

Calculamos a integral
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}2t^5\,dt =2\!\left[\frac{t^6}{6}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} =\frac{1}{3}\Bigl(\frac{\pi}{2}\Bigr)^{6} =\frac{\pi^6}{192}.

Resposta

\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec r =\frac{\pi^6}{192}.

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