Exercicio 2 Verifique se as seguintes equações diferenciais são exatas e resolva as que forem:
Equação:
x e^{x y} d x+y e^{x y} d y=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
x\,e^{xy}\,dx \;+\; y\,e^{xy}\,dy \;=\; 0
é exata. Lembrando que uma equação da forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
é exata se e somente se
\frac{\partial M}{\partial y} \;=\;\frac{\partial N}{\partial x}.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = x\,e^{xy}, \quad N(x,y) = y\,e^{xy}.
Agora computamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\,e^{xy}\bigr) = x\cdot\bigl(x\,e^{xy}\bigr) = x^{2}e^{xy},
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(y\,e^{xy}\bigr) = y\cdot\bigl(y\,e^{xy}\bigr) = y^{2}e^{xy}.

Passo 3

Como
\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2}e^{xy} \quad\neq\quad y^{2}e^{xy} = \frac{\partial N}{\partial x},
a condição de exatidão não se verifica.

Resposta

A equação diferencial não é exata, logo não pode ser resolvida por integração direta sem introduzir um fator integrante.

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