Exercicio 2 Verifique se as seguintes equações diferenciais são exatas e resolva as que forem:
Equação:
y e^{x y} d x+x e^{x y} d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y\,e^{x y}\,dx + x\,e^{x y}\,dy = 0
e pede para verificar se ela é exata e, se for, resolver. O conteúdo aqui é de equações diferenciais exatas: precisamos escrever a equação na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0,
verificar se \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, e em caso positivo encontrar uma função potencial \psi(x,y) tal que
d\psi = M\,dx + N\,dy.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = y\,e^{x y}, \quad N(x,y) = x\,e^{x y}.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x y} + y\,(x\,e^{x y}) = e^{x y} + x y\,e^{x y},
\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x y} + x\,(y\,e^{x y}) = e^{x y} + x y\,e^{x y}.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Por ser exata, existe \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x} = M(x,y) = y\,e^{x y}.
Integramos em relação a x, tratando y como constante:
\psi(x,y) = \int y\,e^{x y}\,dx = y \cdot \frac{1}{y}\,e^{x y} + h(y) = e^{x y} + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Para encontrar h(y), usamos
\frac{\partial \psi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x y} + h(y)\bigr) = x\,e^{x y} + h'(y)
e igualamos a N(x,y)=x\,e^{x y}. Assim
x\,e^{x y} + h'(y) = x\,e^{x y} \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=0 \quad\Longrightarrow\quad h(y)=C.
Logo a função potencial é \psi(x,y)=e^{x y}+C.

Resposta

A solução geral da equação é
e^{x y} = K,
onde K é constante arbitrária.

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