Exercicio 2 Verifique se as seguintes equações diferenciais são exatas e resolva as que forem:
Equação:
(y \operatorname{sen} x+x y \cos x) d x+(x \operatorname{sen} x+1) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
(y \sin x + x y \cos x)\,dx + (x \sin x + 1)\,dy = 0
é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução geral. O conteúdo é de equações diferenciais exatas, para o qual vamos precisar calcular derivadas parciais de M(x,y) e N(x,y) e depois integrar.

Passo 2

Definimos
M(x,y) = y \sin x + x y \cos x, \quad N(x,y) = x \sin x + 1.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = \sin x + x\cos x, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = \sin x + x\cos x.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = M(x,y).
Integramos M em relação a x:
\varphi(x,y) = \int \bigl(y \sin x + x y \cos x\bigr)\,dx = y\int \sin x\,dx + y\int x\cos x\,dx + h(y) = -y\cos x + y(x\sin x+\cos x) + h(y) = x y \sin x + h(y).

Passo 4

Para determinar h(y), usamos
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = x\sin x + h'(y)
que deve ser igual a N(x,y)=x\sin x+1. Daí h'(y)=1 e
h(y)=y.
Logo
\varphi(x,y) = x y \sin x + y.

Passo 5

A solução geral vem de \varphi(x,y)=C, i.e.
y\,(1 + x\sin x) = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

y\,(1 + x\sin x) = C.

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