Calcule as integrais definidas abaixo: \int_{-5}^{5}\left(\left(x^{5}-7 x^{3}+18 \operatorname{sen}\left(x^{3}\right)\right)^{3}+\frac{x+1}{x^{2}+5}\right) d x - Separa em duas Passo 1O enunciado pede para calcular \int_{-5}^{5}\Bigl((x^{5}-7x^{3}+18\operatorname{sen}(x^{3}))^{3}+\frac{x+1}{x^{2}+5}\Bigr)\,dx usando propriedades de paridade e a primitiva de 1/(x^{2}+5). Vamos separar essa integral em duas partes. Passo 2Separe \int_{-5}^{5}\Bigl((x^{5}-7x^{3}+18\operatorname{sen}(x^{3}))^{3}+\frac{x+1}{x^{2}+5}\Bigr)\,dx =\underbrace{\int_{-5}^{5}(x^{5}-7x^{3}+18\operatorname{sen}(x^{3}))^{3}\,dx}_{I_{1}} +\underbrace{\int_{-5}^{5}\frac{x+1}{x^{2}+5}\,dx}_{I_{2}}. Passo 3Defina f(x)=x^{5}-7x^{3}+18\operatorname{sen}(x^{3}). Note que cada termo é função ímpar, pois (-x)^{5}=-x^{5},\quad(-x)^{3}=-x^{3},\quad\operatorname{sen}\bigl((-x)^{3}\bigr)=-\operatorname{sen}(x^{3}). Logo f é ímpar e f(-x)=-f(x). Como I_{1}=\int_{-5}^{5}[f(x)]^{3}dx e o cubo de função ímpar é ímpar, vale I_{1}=0. Passo 4Agora analise I_{2}=\int_{-5}^{5}\frac{x+1}{x^{2}+5}\,dx =\int_{-5}^{5}\frac{x}{x^{2}+5}\,dx+\int_{-5}^{5}\frac{1}{x^{2}+5}\,dx. O termo x/(x^{2}+5) é ímpar, então integra a zero em [-5,5]. O termo 1/(x^{2}+5) é par, então \int_{-5}^{5}\frac{1}{x^{2}+5}\,dx =2\int_{0}^{5}\frac{1}{x^{2}+5}\,dx. Passo 5Use a primitiva \int\frac{1}{x^{2}+5}\,dx =\frac{1}{\sqrt{5}}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{\sqrt{5}}\bigr). Então \int_{0}^{5}\frac{1}{x^{2}+5}\,dx =\frac{1}{\sqrt{5}}\Bigl[\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{\sqrt{5}}\bigr)\Bigr]_{0}^{5} =\frac{1}{\sqrt{5}}\arctan(\sqrt{5}). Multiplicando por 2 dá I_{2}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}\arctan(\sqrt{5}) =\frac{2}{\sqrt{5}}\arctan(\sqrt{5}). Passo 6Somando as duas partes: I_{1}+I_{2}=0+\frac{2}{\sqrt{5}}\arctan(\sqrt{5}) =\frac{2}{\sqrt{5}}\arctan(\sqrt{5}). Resposta \displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}\arctan(\sqrt{5}) MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosExercicio 2 Verifique se as seguintes equações diferenciais são exatas e resolva as que forem: Equação: (y \operatorname{sen} x+x y \cos x) d x+(x \operatorname{sen} x+1) d y=0 Exercicio 2 Verifique se as seguintes equações diferenciais são exatas e resolva as que forem: Equação: (y \operatorname{sen} x+x y \cos x) d x+(x \operatorname{sen} x+1) d y=0 Sabendo que as Equações Diferenciais abaixo não são Exatas, encontre os Fatores de Integração \left(3 x^{2} y+2 x y+y^{3}\right) d x+\left(x^{2}+y^{2}\right) d y=0 Calcule as seguintes integrais. \int_{1}^{x} \frac{1}{t} \mathrm{~d} t