Calcule as integrais definidas abaixo:
\int_{-5}^{5}\left(\left(x^{5}-7 x^{3}+18 \operatorname{sen}\left(x^{3}\right)\right)^{3}+\frac{x+1}{x^{2}+5}\right) d x - Separa em duas

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{-5}^{5}\Bigl((x^{5}-7x^{3}+18\operatorname{sen}(x^{3}))^{3}+\frac{x+1}{x^{2}+5}\Bigr)\,dx
usando propriedades de paridade e a primitiva de 1/(x^{2}+5). Vamos separar essa integral em duas partes.

Passo 2

Separe
\int_{-5}^{5}\Bigl((x^{5}-7x^{3}+18\operatorname{sen}(x^{3}))^{3}+\frac{x+1}{x^{2}+5}\Bigr)\,dx =\underbrace{\int_{-5}^{5}(x^{5}-7x^{3}+18\operatorname{sen}(x^{3}))^{3}\,dx}_{I_{1}} +\underbrace{\int_{-5}^{5}\frac{x+1}{x^{2}+5}\,dx}_{I_{2}}.

Passo 3

Defina f(x)=x^{5}-7x^{3}+18\operatorname{sen}(x^{3}). Note que cada termo é função ímpar, pois
(-x)^{5}=-x^{5},\quad(-x)^{3}=-x^{3},\quad\operatorname{sen}\bigl((-x)^{3}\bigr)=-\operatorname{sen}(x^{3}).
Logo f é ímpar e f(-x)=-f(x). Como I_{1}=\int_{-5}^{5}[f(x)]^{3}dx e o cubo de função ímpar é ímpar, vale
I_{1}=0.

Passo 4

Agora analise
I_{2}=\int_{-5}^{5}\frac{x+1}{x^{2}+5}\,dx =\int_{-5}^{5}\frac{x}{x^{2}+5}\,dx+\int_{-5}^{5}\frac{1}{x^{2}+5}\,dx.
O termo x/(x^{2}+5) é ímpar, então integra a zero em [-5,5]. O termo 1/(x^{2}+5) é par, então
\int_{-5}^{5}\frac{1}{x^{2}+5}\,dx =2\int_{0}^{5}\frac{1}{x^{2}+5}\,dx.

Passo 5

Use a primitiva
\int\frac{1}{x^{2}+5}\,dx =\frac{1}{\sqrt{5}}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{\sqrt{5}}\bigr).
Então
\int_{0}^{5}\frac{1}{x^{2}+5}\,dx =\frac{1}{\sqrt{5}}\Bigl[\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{\sqrt{5}}\bigr)\Bigr]_{0}^{5} =\frac{1}{\sqrt{5}}\arctan(\sqrt{5}).
Multiplicando por 2 dá
I_{2}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}\arctan(\sqrt{5}) =\frac{2}{\sqrt{5}}\arctan(\sqrt{5}).

Passo 6

Somando as duas partes:
I_{1}+I_{2}=0+\frac{2}{\sqrt{5}}\arctan(\sqrt{5}) =\frac{2}{\sqrt{5}}\arctan(\sqrt{5}).

Resposta

\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}\arctan(\sqrt{5})

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