e pede duas coisas: verificar se A é invertível e, se for, determinar A^{-1}.
As informações relevantes que temos são apenas os elementos de A. Nada mais foi fornecido.]
Passo 2
Primeiro passo prático: verificar invertibilidade calculando o determinante. Se \det(A)\neq0, a matriz é invertível; se \det(A)=0, não é invertível.
Vou usar a fórmula padrão para determinante de 3\times3:
Como \det(A)=1\neq0, concluímos que A é invertível.
Passo 3
Método para obter a inversa: usar a relação
A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a matriz adjunta (ou adjugata), obtida como a transposta da matriz dos cofactores. Vou explicar o que são menores e cofactores:
Menor M_{ij}: determinante da matriz que sobra ao eliminar a linha i e a coluna j de A.
Cofactor C_{ij}: C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
A matriz dos cofactores é a matriz C=(C_{ij}). A adjugata é \operatorname{adj}(A)=C^{T}.
Como \det(A)=1, teremos A^{-1}=\operatorname{adj}(A) (ou seja, não há divisão a fazer além de dividir por 1).
Passo 4
Calcular os menores M_{ij} e os cofactores C_{ij} um a um (faço as contas explícitas para não pular etapas).
M_{11}: eliminar linha 1 e coluna 1 deixa \begin{pmatrix}0 & 0\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix}. Então
M_{11}=0\cdot1-0\cdot1=0.
Sinal (-1)^{1+1}=+1, logo C_{11}=+0=0.
M_{12}: eliminar linha 1 e coluna 2 deixa \begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix}. Então
M_{12}=1\cdot1-0\cdot1=1.
Sinal (-1)^{1+2}=-1, logo C_{12}=-1.
M_{13}: eliminar linha 1 e coluna 3 deixa \begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix}. Então
M_{13}=1\cdot1-0\cdot1=1.
Sinal (-1)^{1+3}=+1, logo C_{13}=+1.
M_{21}: eliminar linha 2 e coluna 1 deixa \begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix}. Então
M_{21}=0\cdot1-1\cdot1=-1.
Sinal (-1)^{2+1}=-1, logo C_{21}=-(-1)=+1.
M_{22}: eliminar linha 2 e coluna 2 deixa \begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix}. Então
M_{22}=0\cdot1-1\cdot1=-1.
Sinal (-1)^{2+2}=+1, logo C_{22}= -1.
M_{23}: eliminar linha 2 e coluna 3 deixa \begin{pmatrix}0 & 0\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix}. Então
M_{23}=0\cdot1-0\cdot1=0.
Sinal (-1)^{2+3}=-1, logo C_{23}=-0=0.
M_{31}: eliminar linha 3 e coluna 1 deixa \begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]0 & 0\end{pmatrix}. Então
M_{31}=0\cdot0-1\cdot0=0.
Sinal (-1)^{3+1}=+1, logo C_{31}=0.
M_{32}: eliminar linha 3 e coluna 2 deixa \begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]1 & 0\end{pmatrix}. Então
M_{32}=0\cdot0-1\cdot1=-1.
Sinal (-1)^{3+2}=-1, logo C_{32}=-(-1)=+1.
M_{33}: eliminar linha 3 e coluna 3 deixa \begin{pmatrix}0 & 0\\[2pt]1 & 0\end{pmatrix}. Então
Verificação (checagem rápida): multiplicar A por A^{-1} deve dar a identidade. Faço a multiplicação elemento a elemento (mostro só o resultado final da verificação):