Exercício 3. Verifique se as seguintes matrizes abaixo são inversíveis e determine as inversas.
\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\[4pt] 1 & 0 & 0 \\[4pt] 1 & 1 & 1\end{pmatrix}
e pede duas coisas: verificar se A é invertível e, se for, determinar A^{-1}.
As informações relevantes que temos são apenas os elementos de A. Nada mais foi fornecido.]

Passo 2

Primeiro passo prático: verificar invertibilidade calculando o determinante. Se \det(A)\neq0, a matriz é invertível; se \det(A)=0, não é invertível.
Vou usar a fórmula padrão para determinante de 3\times3:
\det(A)=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}),
onde a_{ij} são os elementos de A.
Aqui:
a_{11}=0,\quad a_{12}=0,\quad a_{13}=1,
a_{21}=1,\quad a_{22}=0,\quad a_{23}=0,
a_{31}=1,\quad a_{32}=1,\quad a_{33}=1.
Substituindo na fórmula:
\det(A)=0\cdot(0\cdot1-0\cdot1)-0\cdot(1\cdot1-0\cdot1)+1\cdot(1\cdot1-0\cdot1).
Calcule cada parte:
0\cdot(\dots)=0,\qquad -0\cdot(\dots)=0,\qquad 1\cdot(1-0)=1.
Logo
\det(A)=1.
Como \det(A)=1\neq0, concluímos que A é invertível.

Passo 3

Método para obter a inversa: usar a relação
A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a matriz adjunta (ou adjugata), obtida como a transposta da matriz dos cofactores. Vou explicar o que são menores e cofactores:
  • Menor M_{ij}: determinante da matriz que sobra ao eliminar a linha i e a coluna j de A.
  • Cofactor C_{ij}: C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
  • A matriz dos cofactores é a matriz C=(C_{ij}). A adjugata é \operatorname{adj}(A)=C^{T}.
Como \det(A)=1, teremos A^{-1}=\operatorname{adj}(A) (ou seja, não há divisão a fazer além de dividir por 1).

Passo 4

Calcular os menores M_{ij} e os cofactores C_{ij} um a um (faço as contas explícitas para não pular etapas).
  • M_{11}: eliminar linha 1 e coluna 1 deixa \begin{pmatrix}0 & 0\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix}. Então
    M_{11}=0\cdot1-0\cdot1=0.
    Sinal (-1)^{1+1}=+1, logo C_{11}=+0=0.
  • M_{12}: eliminar linha 1 e coluna 2 deixa \begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix}. Então
    M_{12}=1\cdot1-0\cdot1=1.
    Sinal (-1)^{1+2}=-1, logo C_{12}=-1.
  • M_{13}: eliminar linha 1 e coluna 3 deixa \begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix}. Então
    M_{13}=1\cdot1-0\cdot1=1.
    Sinal (-1)^{1+3}=+1, logo C_{13}=+1.
  • M_{21}: eliminar linha 2 e coluna 1 deixa \begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix}. Então
    M_{21}=0\cdot1-1\cdot1=-1.
    Sinal (-1)^{2+1}=-1, logo C_{21}=-(-1)=+1.
  • M_{22}: eliminar linha 2 e coluna 2 deixa \begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix}. Então
    M_{22}=0\cdot1-1\cdot1=-1.
    Sinal (-1)^{2+2}=+1, logo C_{22}= -1.
  • M_{23}: eliminar linha 2 e coluna 3 deixa \begin{pmatrix}0 & 0\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix}. Então
    M_{23}=0\cdot1-0\cdot1=0.
    Sinal (-1)^{2+3}=-1, logo C_{23}=-0=0.
  • M_{31}: eliminar linha 3 e coluna 1 deixa \begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]0 & 0\end{pmatrix}. Então
    M_{31}=0\cdot0-1\cdot0=0.
    Sinal (-1)^{3+1}=+1, logo C_{31}=0.
  • M_{32}: eliminar linha 3 e coluna 2 deixa \begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]1 & 0\end{pmatrix}. Então
    M_{32}=0\cdot0-1\cdot1=-1.
    Sinal (-1)^{3+2}=-1, logo C_{32}=-(-1)=+1.
  • M_{33}: eliminar linha 3 e coluna 3 deixa \begin{pmatrix}0 & 0\\[2pt]1 & 0\end{pmatrix}. Então
    M_{33}=0\cdot0-0\cdot1=0.
    Sinal (-1)^{3+3}=+1, logo C_{33}=0.
Agora a matriz dos cofactores C é
C=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

A adjugata é a transposta de C:
\operatorname{adj}(A)=C^{T}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] -1 & -1 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Como \det(A)=1, a inversa é simplesmente
A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)=1\cdot\operatorname{adj}(A)=\operatorname{adj}(A).
Portanto
A^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] -1 & -1 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificação (checagem rápida): multiplicar A por A^{-1} deve dar a identidade. Faço a multiplicação elemento a elemento (mostro só o resultado final da verificação):
A\,A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=I_3,
confirmando que a inversa está correta.]

Resposta

Sim, A é invertível, pois \det(A)=1.
A^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] -1 & -1 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}]

Exercícios relacionados