Exercício 7. Mostre que as matrizes A e B são linhas equivalentes.
\begin{aligned} A & =\left[\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 & 3 \\\\ 2 & 5 & 1 & 8 \\\\ 1 & 3 & 2 & 7 \end{array}\right] \\\ B & =\left[\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 3 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right] \end{aligned}
Para isso, determine uma sequência de operações elementares nas linhas que transforma A em B. A matriz B é uma matriz reduzida a forma escada?

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes A e B e pede duas coisas:
  • Determinar uma sequência de operações elementares nas linhas que transforma A em B.
  • Responder se a matriz B é uma matriz reduzida a forma escada.
As matrizes fornecidas são:
A=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 & 3 \\\\ 2 & 5 & 1 & 8 \\\\ 1 & 3 & 2 & 7 \end{array}\right], \qquad B=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 3 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right].
O enunciado pede explicitamente uma sequência de operações elementares de linhas que leva A a B e, em seguida, verificar se B está na forma reduzida em escada.

Passo 2

O que significa “matrizes equivalentes por linhas” (row-equivalent) e o que fazem as operações elementares:
  • Definição curta e útil: duas matrizes são equivalentes por linhas se uma pode ser obtida da outra através de uma sequência finita de operações elementares sobre linhas. Essas operações elementares são:
    1. trocar duas linhas: R_i \leftrightarrow R_j;
    2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo: R_i \leftarrow \alpha R_i com \alpha\neq0;
    3. adicionar a uma linha um múltiplo de outra: R_i \leftarrow R_i + \lambda R_j.
  • Propriedade importante (que vamos usar): operações elementares sobre linhas preservam o espaço gerado pelas linhas (o espaço linha). Isso significa: se B é obtida de A por operações de linha, então toda linha de B é combinação linear das linhas de A. Em particular, para mostrar que NÃO existe tal sequência de operações é suficiente mostrar que alguma linha de B não pertence ao espaço gerado pelas linhas de A.
Vou usar essa propriedade para testar a possibilidade de transformar A em B.

Passo 3

Selecionar uma linha de B e testar se ela está no espaço gerado pelas linhas de A.
A terceira linha de B é o vetor
v=\left[\begin{array}{cccc}0 & 0 & 1 & 1\end{array}\right].
Se B fosse obtida de A por operações de linha, então v teria de ser combinação linear das linhas de A. Denotando as linhas de A por
r_1=\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & -1 & 3\end{array}\right],\quad r_2=\left[\begin{array}{cccc}2 & 5 & 1 & 8\end{array}\right],\quad r_3=\left[\begin{array}{cccc}1 & 3 & 2 & 7\end{array}\right],
devemos verificar se existem escalares x,y,z tais que
x r_1 + y r_2 + z r_3 = v.
Escrever isso componente a componente dá o sistema linear para x,y,z:
\begin{cases} x + 2y + z = 0,\\[4pt] 2x + 5y + 3z = 0,\\[4pt] - x + y + 2z = 1,\\[4pt] 3x + 8y + 7z = 1. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema passo a passo (método de substituição) e mostrar que é inconsistente.
Da primeira equação:
x = -2y - z.
Substituindo em \;2x +5y +3z = 0\;:
2(-2y - z) + 5y + 3z = 0
-4y -2z +5y +3z = 0 \quad\Rightarrow\quad y + z = 0.
Logo
y = -z.
Substituindo y=-z na expressão para x:
x = -2(-z) - z = 2z - z = z.
Portanto obtemos x=z e y=-z.
Agora substituímos essas expressões na terceira equação -x + y + 2z = 1:
-\,x + y + 2z = -z + (-z) + 2z = 0.
O lado esquerdo dá 0, mas o lado direito é 1. Isso produz a contradição
0 = 1.
Como houve contradição, o sistema não tem solução: não existem x,y,z que expressem v como combinação linear de r_1,r_2,r_3.

Passo 5

Interpretação do resultado e conclusão sobre equivalência por linhas.
  • Conclusão direta: a terceira linha de B, v=(0,0,1,1), NÃO pertence ao espaço gerado pelas linhas de A. Como operações elementares de linha só produzem combinações lineares das linhas originais, isso impede que exista qualquer sequência de operações elementares que transforme A em B.
  • Portanto, NÃO existe sequência de operações elementares nas linhas que transforme A em B. Em palavras: A e B não são equivalentes por linhas.
(Esta é uma prova conclusiva porque usamos a propriedade fundamental de preservação do espaço-linha pelas operações de linha.)

Passo 6

Comentário adicional (útil para prova prática): observação pelo escalonamento de A.
Fazendo eliminação simples em A para ver a forma escada (apenas para confirmar a posição dos pivôs):
\text{De }A: \begin{aligned} R_2 &\leftarrow R_2 - 2R_1 \quad\Rightarrow\quad R_2=[0\;1\;3\;2],\\[4pt] R_3 &\leftarrow R_3 - R_1 \quad\Rightarrow\quad R_3=[0\;1\;3\;4]. \end{aligned}
Então
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 & 3\\[2pt] 0 & 1 & 3 & 2\\[2pt] 0 & 1 & 3 & 4 \end{array}\right]
e prosseguindo R_3\leftarrow R_3-R_2 R_3=[0\;0\;0\;2]. Assim uma forma escalonada de A tem pivôs nas colunas 1, 2 e 4 (não na coluna 3). Como B mostra pivôs nas colunas 1, 2 e 3, isso já dá uma indicação incompatível: pivôs não podem mudar de coluna por operações de linha. (Isto reforça que B não pode ser obtida de A.)]

Passo 7

Verificação se B é uma matriz reduzida a forma escada (RREF — Reduced Row Echelon Form).
Lembrando as condições para uma matriz estar em RREF:
  1. Toda linha nula (se existir) fica abaixo das linhas não nulas.
  2. O primeiro elemento não nulo de cada linha não nula (o “pivot” ou “leading 1”) é 1.
  3. Cada pivot é o único elemento não nulo na sua coluna (isto é, nessa coluna todos os outros elementos são zero).
  4. Cada pivot está à direita do pivot da linha anterior (formas escalonadas).
Analisando B:
B=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 3 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right].
  • Há pivôs iguais a 1 nas colunas 1, 2 e 3, e eles estão à direita progressivamente — então a condição (4) e (2) estão ok.
  • Porém a condição (3) falha: por exemplo, na coluna do pivot da segunda linha (coluna 2), o elemento em B_{1,2} vale 2, não zero. Para estar em forma reduzida, todo elemento fora do pivot na coluna 2 deveria ser zero. Portanto B NÃO está na forma reduzida em escada.

Resposta

Não existe sequência de operações elementares que transforme A em B; A e B não são equivalentes por linhas.
B não é matriz reduzida a forma escada.

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