Exercício 3 Verifique se a série geométrica converge ou diverge. Encontre sua soma, caso convirja. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{2 n}}{5 \cdot 3^{n}}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{2 n}}{5 \cdot 3^{n}}
converge ou diverge e, caso convirja, encontrar sua soma.
Informações dadas: a fórmula geral do termo é \frac{2^{2 n}}{5\cdot 3^{n}} para n=1,2,3,\dots. Não há outras condições ou parâmetros.
Passo 2
Vamos simplificar o termo geral usando regras de potência. Lembre que (a^b)^c = a^{bc}. Então
A forma \frac{1}{5}\left(\frac{4}{3}\right)^n é a forma típica de uma série geométrica: um coeficiente fixo multiplicado por uma razão r elevada a n. Vou rever rapidinho a teoria necessária de forma bem prática.
Definição e fórmula útil:
Uma série geométrica tem a forma \sum_{n=0}^{\infty} A r^{n} (ou, alternativamente, \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n}).
Para a forma que começa em n=0, a soma, quando converge, é
\sum_{n=0}^{\infty} A r^{n} = \frac{A}{1-r},
desde que |r|<1. Aqui A é o primeiro termo (n=0) e r é a razão; A e r são números fixos.
Se a série começa em n=1 do tipo \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n}, então a soma (quando |r|<1) é
\sum_{n=1}^{\infty} a r^{n} = \frac{a r}{1-r},
porque é só a série com índice deslocado.
Importante: um teste indispensável antes de tentar somar é verificar a razão r. Se |r|\ge 1, a série geométrica não converge (os termos não tendem a zero).
No nosso caso, comparando com \frac{1}{5}\left(\frac{4}{3}\right)^n, podemos identificar:
a=\frac{1}{5}\quad\text{e}\quad r=\frac{4}{3}.
(Nota: aqui escolhemos a forma \sum_{n=1}^\infty a r^n com a=\tfrac{1}{5}.)
Passo 4
Agora verificamos a condição de convergência pelo valor de r. Calculamos o módulo de r:
Como \frac{4}{3}>1, temos |r|>1. Pelo que vimos na teoria, se |r|\ge 1 então a série geométrica diverge. Uma forma muito direta de ver isso é observar o comportamento do termo geral: para convergência de uma série é necessário que a_n \to 0 quando n\to\infty. Aqui
a_n = \frac{1}{5}\left(\frac{4}{3}\right)^n
e, como \left(\tfrac{4}{3}\right)^n\to\infty quando n\to\infty, concluímos que a_n não tende a zero (na verdade tende a +\infty). Portanto a série não pode convergir (teste do termo geral / critério da divergência).
Passo 5
Para completar o raciocínio, se quiséssemos olhar para as somas parciais S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{5}\left(\frac{4}{3}\right)^n, a fórmula das somas parciais de uma geométrica dá (quando r\neq 1)
S_N = \frac{a r \big(1-r^{N}\big)}{1-r}.
Com a=\tfrac{1}{5} e r=\tfrac{4}{3} temos r^{N}\to\infty quando N\to\infty, então S_N também não se estabiliza para um valor finito (diverge para +\infty). Isso confirma a conclusão anterior: a série diverge e não tem soma finita.
Resposta
A série diverge (não converge), portanto não possui soma.