Exercício 3 Verifique se a série geométrica converge ou diverge. Encontre sua soma, caso convirja. \sum_{n=1}^{\infty} 3^{2 n} \cdot 2^{1-n}
Passo 1
O enunciado pede que verifiquemos se a série
\sum_{n=1}^{\infty} 3^{2 n}\cdot 2^{1-n}
converge ou diverge. Se convergir, pede também que eu encontre sua soma. Informações dadas: a série é somatório de termos indexados por n a partir de 1, e cada termo é 3^{2n}\cdot 2^{1-n}. A resolução começa identificando a forma do termo geral e decidindo se é uma série geométrica com razão em módulo menor que 1 (caso em que converge) ou maior ou igual a 1 (caso em que diverge).
Passo 2
Vamos simplificar o termo geral usando propriedades de potências. Regras que uso (explicando como se fosse aula rápida):
\,a^{bc}=(a^b)^c quando ajustamos expoentes de forma conveniente.
a^{m+n}=a^m\cdot a^n.
a^{-m}=\dfrac{1}{a^m}.
Aplicando em \,3^{2n}\cdot 2^{1-n}:
Primeiro, escrevo 3^{2n} como (3^2)^n. Assim,
3^{2n} = (3^2)^n = 9^n.
Em seguida, separo 2^{1-n} usando 2^{1-n}=2\cdot 2^{-n} e 2^{-n}=(1/2)^n. Assim,
Identificação: a expressão \sum_{n=1}^{\infty} c\cdot r^n é uma série geométrica (uma constante multiplicando uma potência de razão r). Aqui temos c=2 e r=\tfrac{9}{2}.
Breve aula sobre séries geométricas (o que preciso saber para a prova):
Uma série geométrica padrão pode ser escrita de duas formas comuns:\sum_{n=0}^{\infty} a r^{n}\quad\text{ou}\quad \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1},onde a é o primeiro termo (quando indexada a partir de n=0) e r é a razão comum.
Critério de convergência: a série geométrica converge se, e somente se, |r|<1. Nesse caso a soma é\sum_{n=0}^{\infty} a r^{n} = \frac{a}{1-r}.
Se |r|\ge 1, a série geométrica diverge (os termos não vão a zero e a soma explode ou não tem limite).
Importante: uma condição necessária para que qualquer série \sum a_n converja é que o termo geral a_n tenda a zero quando n\to\infty. Se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0, a série diverge imediatamente.
Como o termo geral não tende a zero, pela condição necessária a série não pode convergir. Portanto diverge.
Passo 6
Conclusão clara e motivada: a série é geométrica com razão \tfrac{9}{2} e |r|>1, o que implica divergência. Além disso, o termo geral não tende a zero, reforçando que a série diverge. Como diverge, não existe soma finita.
Resposta
A série diverge (não converge), portanto não possui soma. |r|=\tfrac{9}{2}>1.