Exercício 3 Verifique se a série geométrica converge ou diverge. Encontre sua soma, caso convirja.
\sum_{n=1}^{\infty} 3^{2 n} \cdot 2^{1-n}

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos se a série
\sum_{n=1}^{\infty} 3^{2 n}\cdot 2^{1-n}
converge ou diverge. Se convergir, pede também que eu encontre sua soma. Informações dadas: a série é somatório de termos indexados por n a partir de 1, e cada termo é 3^{2n}\cdot 2^{1-n}. A resolução começa identificando a forma do termo geral e decidindo se é uma série geométrica com razão em módulo menor que 1 (caso em que converge) ou maior ou igual a 1 (caso em que diverge).

Passo 2

Vamos simplificar o termo geral usando propriedades de potências. Regras que uso (explicando como se fosse aula rápida):
  • \,a^{bc}=(a^b)^c quando ajustamos expoentes de forma conveniente.
  • a^{m+n}=a^m\cdot a^n.
  • a^{-m}=\dfrac{1}{a^m}.
Aplicando em \,3^{2n}\cdot 2^{1-n}:
Primeiro, escrevo 3^{2n} como (3^2)^n. Assim,
3^{2n} = (3^2)^n = 9^n.
Em seguida, separo 2^{1-n} usando 2^{1-n}=2\cdot 2^{-n} e 2^{-n}=(1/2)^n. Assim,
2^{1-n} = 2\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^n.
Multiplicando:
3^{2n}\cdot 2^{1-n} = 9^n \cdot 2\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^n.
Agora uso 9^n\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^n = \left(9\cdot\tfrac{1}{2}\right)^n = \left(\tfrac{9}{2}\right)^n. Portanto o termo geral fica
3^{2n}\cdot 2^{1-n} = 2\cdot\left(\tfrac{9}{2}\right)^n.
Isso já é bem útil: a série é
\sum_{n=1}^{\infty} 3^{2 n}\cdot 2^{1-n} = \sum_{n=1}^{\infty} 2\cdot\left(\tfrac{9}{2}\right)^n = 2\sum_{n=1}^{\infty}\left(\tfrac{9}{2}\right)^n.

Passo 3

Identificação: a expressão \sum_{n=1}^{\infty} c\cdot r^n é uma série geométrica (uma constante multiplicando uma potência de razão r). Aqui temos c=2 e r=\tfrac{9}{2}.
Breve aula sobre séries geométricas (o que preciso saber para a prova):
  • Uma série geométrica padrão pode ser escrita de duas formas comuns: \sum_{n=0}^{\infty} a r^{n}\quad\text{ou}\quad \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1},onde a é o primeiro termo (quando indexada a partir de n=0) e r é a razão comum.
  • Critério de convergência: a série geométrica converge se, e somente se, |r|<1. Nesse caso a soma é \sum_{n=0}^{\infty} a r^{n} = \frac{a}{1-r}.
  • Se |r|\ge 1, a série geométrica diverge (os termos não vão a zero e a soma explode ou não tem limite).
Importante: uma condição necessária para que qualquer série \sum a_n converja é que o termo geral a_n tenda a zero quando n\to\infty. Se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0, a série diverge imediatamente.

Passo 4

Calculo o valor da razão r e verifico o critério:
r = \tfrac{9}{2}.
Calculo o módulo:
|r| = \left|\tfrac{9}{2}\right| = \tfrac{9}{2} = 4{,}5.
Claramente |r|>1. Pela regra da série geométrica, se |r|\ge 1 a série geométrica diverge. Então já tenho forte indicação de divergência.

Passo 5

Verificação pela condição necessária (mais simples e direta na prova): o termo geral da série é
a_n = 2\cdot\left(\tfrac{9}{2}\right)^n.
Vamos ver o limite quando n\to\infty. Como \tfrac{9}{2}>1, a potência \left(\tfrac{9}{2}\right)^n cresce sem limite quando n\to\infty. Logo
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} 2\cdot\left(\tfrac{9}{2}\right)^n = +\infty \neq 0.
Como o termo geral não tende a zero, pela condição necessária a série não pode convergir. Portanto diverge.

Passo 6

Conclusão clara e motivada: a série é geométrica com razão \tfrac{9}{2} e |r|>1, o que implica divergência. Além disso, o termo geral não tende a zero, reforçando que a série diverge. Como diverge, não existe soma finita.

Resposta

A série diverge (não converge), portanto não possui soma. |r|=\tfrac{9}{2}>1.

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