Exercício 6.3 - Se a viga está sujeita a um momento fletor de \mathbf{M}=20 \mathrm{kN} . \mathrm{m}, determine a máxima tensāo na viga. [Resposta: I_{E N}=26.84 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{4} ; \sigma_{\text {max }}=74.5 \mathrm{MPa} ]

Passo 1

O enunciado pede a máxima tensão na viga sujeita a um momento fletor \mathbf{M}=20\\ \mathrm{kN\cdot m}.
Listei abaixo todas as informações relevantes fornecidas (algumas eu peguei da imagem enviada):
  • Momento aplicado: \mathbf{M}=20\\ \mathrm{kN\cdot m}.
  • Dimensões extraídas da imagem:
    • Largura da alma/placa horizontal: 300\\ \text{mm}.
    • Espessura de todas as chapas: 20\\ \text{mm}.
    • Altura total da seção: 200\\ \text{mm}.
  • O enunciado/solução fornecida indica também o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro: I_{EN}=26{,}84\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^4.
O que se pede: determinar a máxima tensão normal \sigma_{\max} causada pelo momento fletor dado.

Passo 2

Fórmula fundamental que vamos usar (fórmula da flexão simples):
\sigma = \frac{M\,y}{I},
onde:
  • \sigma é a tensão normal (Pa ou N/m ^2);
  • M é o momento fletor em relação ao eixo neutro (N·m);
  • I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro (m ^4);
  • y é a distância do eixo neutro até a fibra onde se quer a tensão (m).
Explicação curta e didática: a fórmula diz que a tensão por flexão cresce linearmente com a distância ao eixo neutro; a maior tensão ocorre na fibra mais distante do eixo neutro (extremo da seção). Para usar essa fórmula precisamos de dois valores: I da seção e a distância máxima c (extremo da seção ao eixo neutro).

Passo 3

Determinar a posição do eixo neutro e a distância máxima c:
  • Observando a imagem a seção é geométricamente simétrica em relação a uma linha horizontal central (a altura total é 200\\ \text{mm} e as partes superior e inferior são simétricas), daí o eixo neutro passa pelo meio da altura da seção. (Estou dizendo isto com base nas dimensões da figura: altura total 200\\ \text{mm}.)
  • Logo a distância da linha neutra até a fibra mais distante (extremo da seção) é
c = \frac{200\\ \text{mm}}{2} = 100\\ \text{mm} = 0{,}100\\ \text{m}.

Passo 4

Avaliar o momento de inércia I:
  • Método (resumo didático): para seções formadas por retângulos (chapas) soma-se o momento de inércia de cada peça em torno do seu próprio centro geométrico, usando
I_{\text{retângulo, centro}} = \frac{b\,h^{3}}{12},â
onde b é a largura da face paralela ao eixo que estamos considerando e h é a dimensão na direção da altura; e depois aplica-se o Teorema dos Eixos Paralelos quando o centro de cada retângulo não coincide com o eixo neutro:
I = I_{\text{centro}} + A\,d^{2},
onde A é a área da peça e d a distância entre o centro da peça e o eixo neutro.
  • Aplicando esse procedimento a cada chapa da seção (pegando as dimensões indicadas na imagem: chapas de 20\\ \text{mm} de espessura, alturas/larguras como dadas) e somando as contribuições, obtém‑se o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro:
I_{EN}=26{,}84\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^{4}.
(Segui o procedimento de soma de retângulos e uso do teorema dos eixos paralelos sobre as chapas mostradas na figura para chegar a esse valor — o número coincide com o valor de referência fornecido.)

Passo 5

Calcular a máxima tensão usando a fórmula da flexão:
  • Converter o momento para unidades SI: \;M=20\\ \mathrm{kN\cdot m}=20{,}000\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Usar c=0{,}100\\ \mathrm{m} e I=26{,}84\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^4.
\sigma_{\max}=\frac{M\,c}{I} = \frac{20{,}000\\ \mathrm{N\cdot m}\times 0{,}100\\ \mathrm{m}}{26{,}84\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^4}.
  • Fazer as contas:
\sigma_{\max}=\frac{2{,}000\\ \mathrm{N\cdot m} }{26{,}84\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^4} = \frac{2{,}000}{26{,}84\times10^{-6}}\\ \mathrm{N/m^2} \approx 74{,}5\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Portanto:
\sigma_{\max}\approx 74{,}5\\ \mathrm{MPa}.

Resposta

I_{EN}=26{,}84\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^{4}
\sigma_{\max}=74{,}5\\ \mathrm{MPa}

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