Exercício 6.4 - Se a viga está sujeita a um momento fletor de \mathbf{M}=50 \mathrm{kN} . \mathrm{m}, determine a máxima tensão na viga. [Resposta: \left.I_{E N}=0.18636 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{4} ; \sigma_{\text {máx }}=40.2 \mathrm{MPa}\right]á

Passo 1

O enunciado pede: determinar a máxima tensão na viga quando ela está sujeita a um momento fletor de M=50\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}.
Informações fornecidas (peguei estes valores da imagem/enunciado):
  • Momento aplicado: M=50\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}.
  • Altura total da viga (distância entre faces externas das mesas): 300\\ \mathrm{mm}.
  • Largura da mesa (flange): 200\\ \mathrm{mm}.
  • Espessura da mesa (flange): 20\\ \mathrm{mm}.
  • Espessura da alma (web): 20\\ \mathrm{mm}.
Objetivo final numérico: calcular o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro horizontal (para usar na fórmula de flexão) e então obter a tensão máxima na fibra mais distante.

Passo 2

Principais fórmulas e conceitos usados (explicação didática):
  • Tensão por flexão simples: a fórmula básica é
\sigma=\frac{M\,y}{I},
onde:
  • \sigma é a tensão normal por flexão num ponto a distância y do eixo neutro (unidade: \mathrm{Pa}),
  • M é o momento fletor (unidade: \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}),
  • I é o momento de inércia da área da seção em relação ao eixo neutro (unidade: \mathrm{m}^4),
  • y é a distância do eixo neutro até a fibra onde se quer a tensão (unidade: \mathrm{m}). A tensão máxima ocorre na fibra mais distante (maior |y|).
  • Seção composta (viga em I): calcule I somando as contribuições das partes (flanges e alma). Para cada peça retangular:
    • Momento de inércia em torno do seu próprio eixo centroidal horizontal (retângulo de base b e altura h, eixo paralelo à base):
    I_{\text{ret,cent}}=\frac{b\,h^{3}}{12}.
    • Se o centroide da peça estiver a uma distância d do eixo neutro da seção completa, usar o Teorema dos Eixos Paralelos (Steiner):
    I_{\text{peça}}=I_{\text{ret,cent}}+A\,d^{2},ç
    onde A=b\,h é a área da peça.
Vou aplicar estas fórmulas às três peças: flange superior, flange inferior e alma (web). A seção é simétrica em relação ao eixo horizontal médio, então o eixo neutro passa pelo centro geométrico.

Passo 3

Conversão de unidades e geometria útil (passo a passo):
  • Convertemos todas as dimensões para metros (para trabalhar em SI):
    • 200\\ \mathrm{mm}=0{,}200\\ \mathrm{m}.
    • 20\\ \mathrm{mm}=0{,}020\\ \mathrm{m}.
    • 300\\ \mathrm{mm}=0{,}300\\ \mathrm{m}.
  • Altura útil da alma (entre centros das mesas): a altura total entre faces externas é 0{,}300\\ \mathrm{m}. As mesas (flanges) têm espessura 0{,}020\\ \mathrm{m} cada; a altura da alma (distância vertical útil de material da alma) é
h_{\text{alma}}=0{,}300-2\cdot0{,}020=0{,}260\\ \mathrm{m}.
(Nota: peguei as espessuras e altura da imagem/enunciado.)
  • Áreas das peças:
    • Área de cada flange:
    A_f=b\cdot h_f=0{,}200\cdot0{,}020=0{,}004\\ \mathrm{m}^2.
    • Área da alma:
    A_w=t\cdot h_w=0{,}020\cdot0{,}260=0{,}0052\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Cálculo do momento de inércia de cada peça (detalhado):
  • Posição do eixo neutro: por simetria vertical, o eixo neutro está no centro geométrico, no meio da altura total. Assim a distância do centro da flange superior até o eixo neutro é
d_f=\frac{0{,}300}{2}-\frac{0{,}020}{2}=0{,}150-0{,}010=0{,}140\\ \mathrm{m}.
A flange inferior tem a mesma |d_f| mas com sinal oposto (simetria).
  • Momento de inércia de uma flange em torno do seu eixo centroidal (fórmula do retângulo):
I_{f,\text{cent}}=\frac{b\,h_f^{3}}{12}=\frac{0{,}200\cdot(0{,}020)^{3}}{12}.
Calcule passo a passo:
(0{,}020)^{3}=8{,}0\times10^{-6},
0{,}200\cdot8{,}0\times10^{-6}=1{,}6\times10^{-6},
I_{f,\text{cent}}=\frac{1{,}6\times10^{-6}}{12}=1{,}333333\ldots\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^4.
  • Aplicando o Teorema dos Eixos Paralelos para cada flange:
I_{f}=I_{f,\text{cent}}+A_f\,d_f^{2}.
Calcule A_f\,d_f^{2}:
d_f^{2}=(0{,}140)^{2}=0{,}0196,
A_f\,d_f^{2}=0{,}004\cdot0{,}0196=7{,}84\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^4.
Então
I_{f}=1{,}333333\times10^{-7}+7{,}84\times10^{-5}=7{,}85333333\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^4
para cada flange.
Como há duas flanges, a contribuição total das flanges é
2I_f=2\cdot7{,}85333333\times10^{-5}=1{,}570666666\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^4.
  • Momento de inércia da alma (web) em torno do seu eixo centroidal (a alma está centrada no eixo neutro, logo não precisa de correção de eixo paralelo):
I_w=\frac{t\,h_w^{3}}{12}=\frac{0{,}020\cdot(0{,}260)^{3}}{12}.
Calcule passo a passo:
(0{,}260)^{3}=0{,}017576,
0{,}020\cdot0{,}017576=0{,}00035152,
I_w=\frac{0{,}00035152}{12}=2{,}92933333\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^4.

Passo 5

Somar as contribuições para obter o momento de inércia total da seção:
I_{\text{total}}=2I_f+I_w=1{,}570666666\times10^{-4}+2{,}92933333\times10^{-5}.
Fazendo a soma:
I_{\text{total}}=1{,}8636\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^4.
Em notação coerente com a resposta dada:
I_{EN}=0{,}18636\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^4.

Passo 6

Cálculo da tensão máxima por flexão:
  • A fibra mais distante do eixo neutro está a
y_{\max}=\frac{0{,}300}{2}=0{,}150\\ \mathrm{m}.
  • Converter o momento para SI: M=50\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}=50{,}000\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}.
Aplicando \sigma_{\max}=\dfrac{M\,y_{\max}}{I_{\text{total}}}:
\sigma_{\max}=\frac{50{,}000\cdot0{,}150}{1{,}8636\times10^{-4}}.
Calcule o numerador:
50{,}000\cdot0{,}150=7{,}500\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}.
Dividindo:
\sigma_{\max}=\frac{7{,}500}{1{,}8636\times10^{-4}}\approx40{,}24\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Convertendo para \mathrm{MPa}:
\sigma_{\max}\approx40{,}24\\ \mathrm{MPa}.
Arredondando de acordo com a resposta fornecida: \sigma_{\text{máx}}=40{,}2\\ \mathrm{MPa}.á

Passo 7

Breve conclusão e incentivo: obtivemos o momento de inércia da seção pelo método de áreas compostas (uso da fórmula do retângulo + teorema dos eixos paralelos) e depois aplicamos \sigma=My/I. Esse é o procedimento padrão em prova: identificar partes, calcular I por soma das peças, achar y_{\max} e aplicar a fórmula. Vai dar certo se seguir os passos devagar — você mandou bem chegando até aqui!

Resposta

I_{EN}=0{,}18636\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^4
\sigma_{\text{máx}}=40{,}2\\ \mathrm{MPa}á

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