3.76 Os dois eixos de seção cheia e as engrenagens mostrados são utilizados para transmitir 16 hp do motor em
operando a uma rotação de 1260 rpm , para uma máquina-ferramenta em
. Sabendo que a tensão de cisalhamento máxima admissível é de
, determine o diâmetro necessário (a) do eixo
e (b) do eixo
.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar o diâmetro necessário do eixo
. - Determinar o diâmetro necessário do eixo
.
Informações fornecidas no enunciado e na figura (todas relevantes):
- Potência transmitida:
. - Velocidade do motor em
: . - Tensão de cisalhamento máxima admissível:
. - Os eixos são eixos maciços (seção cheia).
- (Peguei estes dados da imagem:) diâmetro do pinhão (engrenagem menor) ligado ao eixo
: . - (Peguei estes dados da imagem:) diâmetro da engrenagem maior ligada ao eixo
: .
Observação: a solução vai usar a relação entre potência, velocidade angular e torque e a fórmula da tensão de cisalhamento máxima em um eixo circular maciço submetido à torção. Não se resolve nada ainda aqui — apenas listei o que há no problema.
Passo 2
Converter as unidades e calcular o torque no eixo
usando a relação entre potência, torque e velocidade angular.
Fórmula fundamental que usamos:
onde
-
é a potência em watts ( ), -
é o torque em newton-metro ( ), -
é a velocidade angular em rad/s.
Primeiro converto potência e velocidade:
A velocidade angular
relaciona-se com
por
Substituindo
:
Agora o torque no eixo
(torque do motor no pinhão) é:
Calculo numérico:
Explicação didática curta: isto vem direto de que potência é trabalho por tempo; em rotação, trabalho por volta está relacionado com torque vezes ângulo; daí
. Sempre cuide das unidades: W = N·m/s e
em rad/s.
Passo 3
Determinar o torque transmitido no eixo
por meio das engrenagens (uso das medidas da imagem).
Princípio físico da engrenagem (passo-a-passo e didático):
- Quando duas engrenagens engrenam, a força tangencial
na linha de ação é a mesma para as duas engrenagens (ignora-se atrito/perdas). - O torque numa engrenagem é
, onde é o raio da engrenagem. - Portanto, entre pinhão (raio
) e coroa (raio ) vale
Da imagem peguei os diâmetros:
Converto para raios:
Aplicando a relação de torques:
Substituindo valores:
Comentário didático: a velocidade angular do eixo
será menor (proporcional a
), e o torque aumenta na mesma razão inversa — isto mantém a potência (sem perdas):
.
Passo 4
Fórmula da tensão de cisalhamento em um eixo circular maciço submetido a torque puro e resolução para o diâmetro.
Para um eixo circular maciço submetido a torque
, a tensão de cisalhamento máxima na superfície é dada por:
onde
-
é o raio do eixo ( ), -
é o momento polar de inércia da seção circular maciça: .
Substituindo
e
temos a forma prática:
Isolando
para projetar o diâmetro quando se conhece
admissível:
Esta fórmula é padrão em resistência dos materiais para torção em eixos maciços — memorizá-la ajuda na prova.
Passo 5
Calcular o diâmetro do eixo
usando
.
Usando
substituo
e
:
Faço as contas passo a passo:
Tomando a raiz cúbica:
Interpretação prática: o cálculo fornece o diâmetro teórico mínimo para que a tensão de cisalhamento não ultrapasse
. Em projeto real costuma-se adotar um diâmetro padronizado maior e considerar fatores de segurança, chaves, entalhes etc.
Passo 6
Calcular o diâmetro do eixo
usando
.
Aplicando a mesma fórmula:
Com
:
Tomando a raiz cúbica:
Comentário final curto: os valores obtidos são os diâmetros mínimos teóricos para resistência ao cisalhamento; em prática costuma-se escolher diâmetros padronizados (por exemplo
,
, etc.) e verificar detalhes de montagem e concentrações de tensão.
Resposta
(a)
(b)
(b)