3.76 Os dois eixos de seção cheia e as engrenagens mostrados são utilizados para transmitir 16 hp do motor em A operando a uma rotação de 1260 rpm , para uma máquina-ferramenta em D. Sabendo que a tensão de cisalhamento máxima admissível é de 55,2 \mathrm{MPa}, determine o diâmetro necessário (a) do eixo A B e (b) do eixo C D.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar o diâmetro necessário do eixo AB.
  • Determinar o diâmetro necessário do eixo CD.
Informações fornecidas no enunciado e na figura (todas relevantes):
  • Potência transmitida: \,P=16\\ \text{hp}.
  • Velocidade do motor em A: \,n_A=1260\\ \text{rpm}.
  • Tensão de cisalhamento máxima admissível: \,\tau_{\text{adm}}=55{,}2\\ \text{MPa}.
  • Os eixos são eixos maciços (seção cheia).
  • (Peguei estes dados da imagem:) diâmetro do pinhão (engrenagem menor) ligado ao eixo AB: \,75\\ \text{mm}.
  • (Peguei estes dados da imagem:) diâmetro da engrenagem maior ligada ao eixo CD: \,125\\ \text{mm}.
Observação: a solução vai usar a relação entre potência, velocidade angular e torque e a fórmula da tensão de cisalhamento máxima em um eixo circular maciço submetido à torção. Não se resolve nada ainda aqui — apenas listei o que há no problema.

Passo 2

Converter as unidades e calcular o torque no eixo AB usando a relação entre potência, torque e velocidade angular.
Fórmula fundamental que usamos:
P = T\,\omega,
onde
  • P é a potência em watts ( \text{W}),
  • T é o torque em newton-metro ( \text{N}\cdot\text{m}),
  • \omega é a velocidade angular em rad/s.
Primeiro converto potência e velocidade:
P = 16\\ \text{hp} = 16\cdot 746\\ \text{W} = 11936\\ \text{W}.
A velocidade angular \omega relaciona-se com n por
\omega = 2\pi\frac{n}{60}.
Substituindo n_A=1260\\ \text{rpm}:
\omega_A = 2\pi\frac{1260}{60}=2\pi\cdot 21 = 42\pi\\ \text{rad/s}\approx 131{,}9469\\ \text{rad/s}.
Agora o torque no eixo AB (torque do motor no pinhão) é:
T_{AB}=\frac{P}{\omega_A}=\frac{11936}{42\pi}\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Calculo numérico:
T_{AB}\approx 90{,}445\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Explicação didática curta: isto vem direto de que potência é trabalho por tempo; em rotação, trabalho por volta está relacionado com torque vezes ângulo; daí P=T\omega. Sempre cuide das unidades: W = N·m/s e \omega em rad/s.

Passo 3

Determinar o torque transmitido no eixo CD por meio das engrenagens (uso das medidas da imagem).
Princípio físico da engrenagem (passo-a-passo e didático):
  • Quando duas engrenagens engrenam, a força tangencial F_t na linha de ação é a mesma para as duas engrenagens (ignora-se atrito/perdas).
  • O torque numa engrenagem é T = F_t \cdot r, onde r é o raio da engrenagem.
  • Portanto, entre pinhão (raio r_B) e coroa (raio r_C) vale
\frac{T_C}{T_B}=\frac{r_C}{r_B}.
Da imagem peguei os diâmetros:
D_B = 75\\ \text{mm},\qquad D_C = 125\\ \text{mm}.
Converto para raios:
r_B=\frac{D_B}{2}=\frac{75}{2}\\ \text{mm}=37{,}5\\ \text{mm}=0{,}0375\\ \text{m},
r_C=\frac{D_C}{2}=\frac{125}{2}\\ \text{mm}=62{,}5\\ \text{mm}=0{,}0625\\ \text{m}.
Aplicando a relação de torques:
T_{CD}=T_C = T_B\frac{r_C}{r_B}=T_{AB}\frac{r_C}{r_B}.
Substituindo valores:
T_{CD}=90{,}445\cdot\frac{0{,}0625}{0{,}0375}\\ \text{N}\cdot\text{m} =90{,}445\cdot\frac{125}{75} \approx 150{,}742\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Comentário didático: a velocidade angular do eixo CD será menor (proporcional a r_B/r_C), e o torque aumenta na mesma razão inversa — isto mantém a potência (sem perdas): P=T_B\omega_B=T_C\omega_C.

Passo 4

Fórmula da tensão de cisalhamento em um eixo circular maciço submetido a torque puro e resolução para o diâmetro.
Para um eixo circular maciço submetido a torque T, a tensão de cisalhamento máxima na superfície é dada por:
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde
  • c é o raio do eixo ( c=d/2),
  • J é o momento polar de inércia da seção circular maciça: \,J=\dfrac{\pi d^{4}}{32}.
Substituindo c e J temos a forma prática:
\tau_{\max}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.
Isolando d para projetar o diâmetro quando se conhece \tau_{\max} admissível:
d=\left(\frac{16\,T}{\pi\,\tau_{\text{adm}}}\right)^{1/3}.
Esta fórmula é padrão em resistência dos materiais para torção em eixos maciços — memorizá-la ajuda na prova.

Passo 5

Calcular o diâmetro do eixo AB usando T_{AB}.
Usando
d_{AB}=\left(\frac{16\,T_{AB}}{\pi\,\tau_{\text{adm}}}\right)^{1/3},
substituo T_{AB}=90{,}445\\ \text{N}\cdot\text{m} e \tau_{\text{adm}}=55{,}2\\ \text{MPa}=55{,}2\times10^{6}\\ \text{Pa}:
d_{AB}=\left(\frac{16\cdot 90{,}445}{\pi\cdot 55{,}2\times10^{6}}\right)^{1/3}\\ \text{m}.
Faço as contas passo a passo:
16\cdot 90{,}445 = 1447{,}12,
\pi\cdot 55{,}2\times10^{6}\approx 3{,}14159265\cdot 55{,}2\times10^{6}\approx 173{,}447\times10^{3}\\ (\text{N/m}^2).
\frac{1447{,}12}{\pi\cdot 55{,}2\times10^{6}}\approx 8{,}349\times10^{-6}\\ \text{m}^3.
Tomando a raiz cúbica:
d_{AB}\approx (8{,}349\times10^{-6})^{1/3}\\ \text{m}\approx 0{,}0204\\ \text{m}=20{,}4\\ \text{mm}.
Interpretação prática: o cálculo fornece o diâmetro teórico mínimo para que a tensão de cisalhamento não ultrapasse 55{,}2\\ \text{MPa}. Em projeto real costuma-se adotar um diâmetro padronizado maior e considerar fatores de segurança, chaves, entalhes etc.

Passo 6

Calcular o diâmetro do eixo CD usando T_{CD}.
Aplicando a mesma fórmula:
d_{CD}=\left(\frac{16\,T_{CD}}{\pi\,\tau_{\text{adm}}}\right)^{1/3}.
Com T_{CD}=150{,}742\\ \text{N}\cdot\text{m}:
16\cdot 150{,}742 = 2411{,}87,
\frac{2411{,}87}{\pi\cdot 55{,}2\times10^{6}}\approx 1{,}3907\times10^{-5}\\ \text{m}^3.
Tomando a raiz cúbica:
d_{CD}\approx (1{,}3907\times10^{-5})^{1/3}\\ \text{m}\approx 0{,}0240\\ \text{m}=24{,}0\\ \text{mm}.
Comentário final curto: os valores obtidos são os diâmetros mínimos teóricos para resistência ao cisalhamento; em prática costuma-se escolher diâmetros padronizados (por exemplo 22\\ \text{mm}, 25\\ \text{mm}, etc.) e verificar detalhes de montagem e concentrações de tensão.

Resposta

(a) d_{AB}=20{,}4\\ \text{mm}
(b) d_{CD}=24{,}0\\ \text{mm}

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