- Se o rebocador de
leva
para sumentar uniformemente sua velocidade para
, partindo de repouso, determine a força no cabo sobre o rebocador. A hélice fornece uma força de propulsăo
ao rebocador, enquanto a barcaça se move livremente. A barcaça pesa 75 t. (5 valores).
Passo 1
O enunciado pede para determinar a força no cabo sobre o rebocador. Os dados fornecidos são:
- Massa do rebocador:
. - Massa da barcaça:
. - Partida do repouso e aceleração uniforme até a velocidade final de
. - Tempo gasto nessa aceleração:
. - A hélice fornece uma força de propulsão
sobre o rebocador; a barcaça move-se livremente (ou seja, é puxada pelo cabo).
As quantidades numéricas acima serão usadas para calcular a aceleração e, em seguida, a força no cabo sobre o rebocador.
Passo 2
Primeiro vamos colocar tudo em unidades do SI (sistema internacional), porque as fórmulas da dinâmica funcionam com metros, segundos e quilogramas.
Conversão de massa (tonelada métrica para quilograma):
Conversão da velocidade de
para
. A regra é multiplicar por
:
Como a aceleração é uniforme (constante) e o corpo parte do repouso, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Explicação curta do conceito: aceleração média constante é simplesmente a variação de velocidade dividida pelo tempo gasto nessa variação. Aqui a variação de velocidade é de
a
em
.
Passo 3
Agora vamos analisar as forças com diagramas de corpo livre e usar a segunda lei de Newton (método padrão para esse tipo de problema).
Ideia física e notação:
- Denotar por
a tensão no cabo (força que o cabo exerce sobre o rebocador, para trás). - Denotar por
a força de propulsão produzida pela hélice (para frente) aplicada ao rebocador. - Abarcamos duas massas separadas: o rebocador (
) e a barcaça ( ). - Para cada corpo aplicamos a segunda lei:
.
Análise da barcaça:
- Forças horizontais na barcaça: apenas a tensão
para frente (assumindo resistência do ar/água desprezível ou incluída em se necessário). Então
Isto significa que a tensão no cabo é exatamente a força necessária para acelerar a barcaça com a aceleração comum
.
Análise do rebocador:
- Forças horizontais no rebocador:
para frente pela hélice e para trás pelo cabo. Portanto, pela segunda lei:
Rearranjando, podemos escrever
. Substituindo
(da barcaça), obtemos:
Ou seja, a hélice precisa fornecer força suficiente para acelerar o rebocador e, adicionalmente, puxar a barcaça (via tensão).
Passo 4
Agora fazemos as contas numéricas passo a passo.
Já temos:
Cálculo da tensão no cabo (força no cabo sobre o rebocador). Usamos
:
Arredondando de forma conveniente:
(ou
).
Cálculo da força de propulsão
. Usamos
:
ou seja
(ou
).
Comentário prático: a tensão no cabo é a força traseira que a barcaça “puxa” sobre o rebocador; a hélice precisa superar essa tensão e ainda acelerar o próprio rebocador.
Passo 5
Resumo físico e verificação rápida:
- A aceleração é pequena (cerca de
), coerente com um grande sistema pesado acelerando lentamente. - A tensão no cabo tem magnitude menor que a força da hélice, porque parte da força da hélice é gasta para acelerar o próprio rebocador.
- A consistência matemática:
confere numericamente: e — pequenas diferenças por arredondamento, portanto está consistente.
Resposta
Força no cabo sobre o rebocador: