1. Se o rebocador de 50 t leva 35 s para sumentar uniformemente sua velocidade para 25 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, partindo de repouso, determine a força no cabo sobre o rebocador. A hélice fornece uma força de propulsăo F ao rebocador, enquanto a barcaça se move livremente. A barcaça pesa 75 t. (5 valores).

Passo 1

O enunciado pede para determinar a força no cabo sobre o rebocador. Os dados fornecidos são:
  • Massa do rebocador: \;50\\ \text{t}.
  • Massa da barcaça: \;75\\ \text{t}.
  • Partida do repouso e aceleração uniforme até a velocidade final de \;25\\ \text{km/h}.
  • Tempo gasto nessa aceleração: \;35\\ \text{s}.
  • A hélice fornece uma força de propulsão F sobre o rebocador; a barcaça move-se livremente (ou seja, é puxada pelo cabo).
    As quantidades numéricas acima serão usadas para calcular a aceleração e, em seguida, a força no cabo sobre o rebocador.

Passo 2

Primeiro vamos colocar tudo em unidades do SI (sistema internacional), porque as fórmulas da dinâmica funcionam com metros, segundos e quilogramas.
Conversão de massa (tonelada métrica para quilograma):
50\\ \text{t} = 50{,}0\times10^{3}\\ \text{kg} = 50\,000\\ \text{kg}, \qquad 75\\ \text{t} = 75{,}0\times10^{3}\\ \text{kg} = 75\,000\\ \text{kg}.
Conversão da velocidade de \text{km/h} para \text{m/s}. A regra é multiplicar por \dfrac{1000}{3600}=\dfrac{5}{18}:
v = 25\\ \text{km/h} = 25\cdot\frac{1000}{3600}\\ \text{m/s} = \frac{25000}{3600}\\ \text{m/s} = 6{,}9444\ldots\\ \text{m/s}.
Como a aceleração é uniforme (constante) e o corpo parte do repouso, usamos a fórmula:
a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v-0}{t}=\frac{v}{t}.
Substituindo os valores:
a=\frac{6{,}9444\ldots}{35}\\ \text{m/s}^2 \approx 0{,}1984\\ \text{m/s}^2.
Explicação curta do conceito: aceleração média constante é simplesmente a variação de velocidade dividida pelo tempo gasto nessa variação. Aqui a variação de velocidade é de 0 a 6{,}9444\ldots\\ \text{m/s} em 35\\ \text{s}.

Passo 3

Agora vamos analisar as forças com diagramas de corpo livre e usar a segunda lei de Newton (método padrão para esse tipo de problema).
Ideia física e notação:
  • Denotar por T a tensão no cabo (força que o cabo exerce sobre o rebocador, para trás).
  • Denotar por F a força de propulsão produzida pela hélice (para frente) aplicada ao rebocador.
  • Abarcamos duas massas separadas: o rebocador ( m_r) e a barcaça ( m_b).
  • Para cada corpo aplicamos a segunda lei: \; \sum F = m a.
Análise da barcaça:
  • Forças horizontais na barcaça: apenas a tensão T para frente (assumindo resistência do ar/água desprezível ou incluída em F se necessário). Então
T = m_b\,a.
Isto significa que a tensão no cabo é exatamente a força necessária para acelerar a barcaça com a aceleração comum a.
Análise do rebocador:
  • Forças horizontais no rebocador: F para frente pela hélice e T para trás pelo cabo. Portanto, pela segunda lei:
F - T = m_r\,a.
Rearranjando, podemos escrever F = m_r a + T. Substituindo T = m_b a (da barcaça), obtemos:
F = m_r a + m_b a = (m_r + m_b)\,a.
Ou seja, a hélice precisa fornecer força suficiente para acelerar o rebocador e, adicionalmente, puxar a barcaça (via tensão).

Passo 4

Agora fazemos as contas numéricas passo a passo.
Já temos:
m_r = 50\,000\\ \text{kg},\qquad m_b = 75\,000\\ \text{kg},\qquad a \approx 0{,}1984\\ \text{m/s}^2.
Cálculo da tensão no cabo (força no cabo sobre o rebocador). Usamos T = m_b a:
T = 75\,000\cdot 0{,}1984\\ \text{N} \approx 14\,880{,}95\\ \text{N}.
Arredondando de forma conveniente: \;T \approx 1{,}49\times10^{4}\\ \text{N} (ou \;14{,}9\\ \text{kN}).
Cálculo da força de propulsão F. Usamos F=(m_r+m_b)a:
F=(50\,000+75\,000)\cdot 0{,}1984\\ \text{N}=125\,000\cdot0{,}1984\\ \text{N}\approx24\,801{,}9\\ \text{N},
ou seja \;F\approx2{,}48\times10^{4}\\ \text{N} (ou \;24{,}8\\ \text{kN}).
Comentário prático: a tensão no cabo é a força traseira que a barcaça “puxa” sobre o rebocador; a hélice precisa superar essa tensão e ainda acelerar o próprio rebocador.

Passo 5

Resumo físico e verificação rápida:
  • A aceleração é pequena (cerca de 0{,}2\\ \text{m/s}^2), coerente com um grande sistema pesado acelerando lentamente.
  • A tensão no cabo tem magnitude menor que a força da hélice, porque parte da força da hélice é gasta para acelerar o próprio rebocador.
  • A consistência matemática: F - T = m_r a confere numericamente: 24\,802 - 14\,881 \approx 9\,921\\ \text{N} e m_r a = 50\,000\cdot0{,}1984\approx9\,920\\ \text{N} — pequenas diferenças por arredondamento, portanto está consistente.

Resposta

m_{\text{rebocador}}=50\\ \text{t}=50\,000\\ \text{kg}
m_{\text{barcaça}}=75\\ \text{t}=75\,000\\ \text{kg}ç
v=25\\ \text{km/h}=6{,}9444\\ \text{m/s}
a\approx0{,}1984\\ \text{m/s}^2
Força no cabo sobre o rebocador: T\approx14\,880{,}95\\ \text{N}\approx1{,}49\times10^{4}\\ \text{N}

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